Tratando de entender los subespacios vectoriales

Question

Estoy estudiando un capítulo sobre subespacios vectoriales y proyecciones. Me encontré con esta definición:

Podemos dividir el conjunto de todos los vectores $\mathbb{R}^3$ en dos conjuntos: vectores totalmente contenidos en $S$ y vectores perpendiculares a $S$ . Decimos $\mathbb{R}^3$ se descompone en la suma directa de los subespacios $S$ y $S^\bot$ :

$$\mathbb{R}^3 = S \oplus S^\bot$$

Y luego sobre la proyección en una línea:

Sea $l$ es una recta que pasa por el origen y está en $\mathbb{R}^3$ con vector de dirección $\vec{v}$ :

$$ l: \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid (x,y,z) = t\vec{v}, t \in \mathbb{R}^3 \} $$

El espacio ortogonal a la línea $l$ consiste en todos los vectores perpendiculares al vector de dirección $\vec{v}$ :

$$l^\bot : \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid (x,y,z).\vec{v} = 0 \}$$ ...

El espacio ortogonal de una línea $l$ con vector de dirección $\vec{v}$ es un plano con vector normal $\vec{v}$ .

Todo tiene sentido excepto la última frase que dice que el espacio ortogonal es un avión con vector normal $\vec{v}$ . Lo que mi intuición me dice es que el espacio ortogonal debe ser el conjunto de todos los planos (no un solo plano) en $\mathbb{R}^3$ con vector normal $\vec{v}$ porque:

$$\mathbb{R}^3 = S \oplus S^\bot$$

Espero que alguien pueda decirme qué es lo que estoy entendiendo mal.

Answer 1

"Podemos dividir el conjunto de todos los vectores en $\mathbb{R}^{3}$ en dos conjuntos disjuntos: vectores totalmente contenidos en $S$ y vectores perpendiculares a $S$ ."

No me gusta esta línea por varias razones, las dos principales son que

1. Estos dos conjuntos $S$ y $S^{\perp}$ no son disjuntos, comparten el $0$ vector;
2. parece sugerir que cada vector en $\mathbb{R}^{3}$ está en $S$ o $S^{\perp}$ lo que no es el caso. Hay muchos vectores que no están contenidos en $S$ ni son ortogonales a $S$ . Lo que es cierto es que cada vector en $\mathbb{R}^{3}$ es una suma de un vector en $S$ y un vector en $S^{\perp}$ .

El espacio ortogonal de una línea $\ell$ con dirección $v$ es un plano con un vector normal $v$ .

Esto es absolutamente correcto. El espacio ortogonal es una colección de vectores, no una colección de planos. Y todos los vectores tienen su raíz en el origen. Así que el espacio ortogonal consiste en todos los vectores en el plano que contiene el origen que tiene vector normal $v$ (esto es esencialmente la definición del vector normal de un plano).

Answer 2

En realidad estás confundiendo los espacios vectoriales con los espacios afines. Con los espacios vectoriales sólo existe un subespacio que tiene un vector normal dado, porque un plano está definido por dos vectores no colineales.

Pero si trabajas con espacios afines, también necesitas un punto: es a lo que estamos acostumbrados.