complemento de un conjunto cerrado totalmente desconectado en el plano

Question

Mientras preparaba un curso de análisis complejo, me topé con una observación en el libro de Dudziak sobre conjuntos desmontables, a saber, que cualquier conjunto totalmente desconectado $K \subset\subset {\mathbb C}$ debe tener un complemento conexo; una observación, "que verificando el lector puede encontrar uno de esos ejercicios de topología de 'meros' conjuntos de puntos que resulta un poco frustrante". Por curiosidad pasé una tarde con esta pregunta. La afirmación resultó ser una simple consecuencia del teorema 14.2 ("Si $x$ y $y$ están separadas por el conjunto cerrado $F$ en el plano abierto o cerrado están separadas por una componente de $F$ .") en un viejo libro "Elements of the Topology of Plane Sets of Points" de M.H.A. Newman, Cambridge 1951. Allí, la demostración se basa en un lema de Alexander (utilizado en su demostración del teorema de separación de Jordan-Brouwer; Trans. AMS 23, 333-349, 1922), que afirma que, para conjuntos cerrados disjuntos $F_1$ y $F_2$ en el plano, dos puntos que están conectados en el complemento de $F_1$ y en el complemento de $F_2$ están conectados en el complemento de $F_1 \cup F_2$ . Este lema falla para superficies más generales (Newman da un contraejemplo para el toroide) y se demuestra por métodos homológicos. He aquí mis preguntas:

(a) ¿existe alguna referencia más moderna a este tipo de resultados (el libro de Newman utiliza una terminología y una notación bastante ideosincráticas)?

(b) ¿existe una demostración más sencilla que no utilice el lema de Alexander (o resultados de profundidad similar)?

(c) ¿qué ocurre con la conectividad del complemento de un conjunto cerrado totalmente desconectado en superficies (o espacios topológicos) más generales que el plano?

Answer 1

Una prueba de la afirmación utilizando conocimientos que han resistido la prueba del tiempo es citar el Teorema de dualidad de Alexander para el que se pueden encontrar múltiples fuentes modernas. La forma relevante de la dualidad de Alexander establece que el si $X$ es un subconjunto compacto de $S^n$ entonces la cohomología Čech reducida de $X$ es isomorfa a la homología reducida de su complemento en la dimensión complementaria menos 1, dimensión $q \leftrightarrow n-q-1$ . Por lo tanto, el reducido $H_0$ de $\mathbb R^2 \setminus X $ que mide desconexión y es igual a la de $S^2 \setminus X$ es isomorfo al cohomología Čech unidimensional de $X$ ; toda cohomología Čech excepto la de dimensión 0 es trivial para cualquier espacio totalmente desconectado, ya que hay coberturas finas con 0-dimensional nervio.

La cohomología Čech de $X$ es el límite directo de la cohomología del nervio de coberturas; el nervio es el complejo simplicial cuyos símbolos afirman que los elementos de la cobertura indexados por sus vértices tienen una intersección no vacía. Utilizando teoremas de extensión, existe un mapa continuo de un espacio topológico al nervio de una cubierta abierta. Esto se traduce para cualquier $X$ tal que $\mathbb{R}^2 \setminus X$ está desconectado, puedes usar ese hecho para definir un mapa desde el nervio de cualquier cubierta de $X$ a $S^1$ que no es nulo-homotópico, e incluso cuando se refina la cubierta y se retira el mapa a el refinamiento, todavía no es nullhomotopic. Esto es incoherente con $X$ en totalmente desconectado.

Intuitivamente, el teorema de Alexander detecta la vinculación entre $X$ y su complemento. Cada $q$ -ciclo $Z^q \subset S^n \setminus X$ cuando $q \ne 0, n$ es el límite de un $q+1$ -cadena $C^{q+1}$ en $S^n$ por lo que la no trivialidad de $Z^q$ se capta por la forma $C^{q+1}$ se cruza con $X$ . La dualidad de Alexander es una forma muy natural de formalizar esta idea. La homología ordinaria es suficiente para el complemento de $X$ ya que es abierto, es localmente contractible, y la marca de homología o cohomología no es un problema.

El mismo razonamiento muestra que el complemento de cualquier subconjunto totalmente desconectado de cualquier de dimensión $n \ge 2$ está conectado.

Answer 2

Sé que es una pregunta antigua que ya tiene una respuesta excelente (aunque puede que sólo se aplique a los conjuntos compactos). Sin embargo, permítanme responder a la pregunta original, en relación con los siguientes resultados:

Lema. Si dos puntos $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}x,y\in\R^2$ están desconectadas entre sí por el conjunto cerrado $F$ entonces están desconectadas por una componente conexa de $F$ .

Está claro (como se ha señalado) que la topología específica del plano tiene que utilizarse de alguna manera, ya que, por ejemplo, esto ya no es cierto en el toroide. De hecho, la clave es la siguiente.

Teorema de Janiszewski . Si dos conjuntos compactos $A,B\subset S^2$ no separar $S^2$ y $A\cap B$ está conectado, entonces $A\cup B$ tampoco separa $S^2$ .

Este resultado se remonta a Janiszewski (1912), y no al artículo de Alexander que mencionas. Es clave para demostrar muchos hechos "obvios" en topología plana (en particular, se puede utilizar para dar una prueba topológica del teorema de la curva de Jordan). Por ejemplo, en una búsqueda rápida se ha encontrado estas notas dan una demostración directa del teorema de Janiczewski en línea. También creo recordar que hay una referencia a una prueba topológica en "Boundary behaviour of conformal maps" de Pommerenke, pero no tengo el libro a mano en este momento.

En cualquier caso, es de esperar que quede claro que se puede proporcionar un argumento directo (por ejemplo, modificando una curva que une dos puntos dados mediante la sustitución de determinadas cuerdas por las de curvas cerradas simples suficientemente próximas en torno a los dos conjuntos), pero siempre va a ser un poco engorroso.

Observación 1. El resultado en la forma que has citado:

Corolario. Si dos conjuntos compactos $A,B\subset S^2$ no separe los puntos $x,y\in S^2$ y $A\cap B$ está conectado, entonces $A\cup B$ tampoco separa $x$ y $y$ .

se deduce fácilmente del teorema de Janiczewski (rellenando las componentes de $S^2\setminus A$ que no contengan $x,y$ y lo mismo para $B$ ).

Observación 2. Una prueba del lema anterior (que resulta ser muy útil), con una formulación ligeramente diferente, puede encontrarse, por ejemplo, en mi artículo Conjuntos de escape conectados de mapas exponenciales , DOI:10.5186/aasfm.2011.3604 en el que se dio por exhaustividad, aunque en ese esbozo la relevancia del teorema de Janiczewski se esconde bajo la alfombra en la última línea.