Ecuación de una recta...

Question

Esta es una pregunta realmente embarazosa, pero ¿podría alguien recordarme por qué para cualquier función (continua, para hacerlo simple) definida sobre $[a,b]$ las líneas

$$L_1 = m(x - a) + f(a)$$

et $$L_2 = m(x - b) + f(b)$$

¿son equivalentes? En $m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Answer 1

Puede comprobarlo directamente. Suponemos que $m\neq 0$ entonces tenemos

\begin{align*} m(x-a)+f(a) & = m(x-b)+f(b) \\ \Leftrightarrow x-a+\frac{1}{m}f(a) & = x-b+\frac{1}{m}f(b)\\ \Leftrightarrow b-a & =\frac{1}{m}(f(b)-f(a)) \\ \Leftrightarrow 1 & = \frac{1}{m}\underbrace{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}_{=m}\\ & = 1 \end{align*}

y puesto que $1=1$ es verdadera, las líneas son iguales. Espero que esto te ayude.

Por cierto, no creo que su pregunta sea vergonzosa, me parece importante recordarse a uno mismo de vez en cuando por qué ciertas cosas que sabemos que son ciertas lo son.

Answer 2

Otra forma de ver esto:

1. Como su pendiente es la misma, son paralelas. Por lo tanto, sólo tenemos que encontrar un punto común.
2. Evidentemente, sustituyendo por ejemplo el punto $b$ , produce $L_2=f(b)$ y $L_2=f(b)-f(a)+f(a)=f(b)$

Answer 3

O para el enfoque de la fuerza bruta, sólo hay que poner los dos en $mx + b$ forma:

$$L_1 = m \cdot (x - a) + f(a)$$

$$L_1 = \frac {f(b) - f(a)}{b - a} \cdot (x - a) + f(a)$$

$$L_1 = \frac {f(b) - f(a)}{b - a}x - \frac {f(b) - f(a)}{b - a} a + f(a)$$

$$L_1 = \frac {f(b) - f(a)}{b - a}x + \frac {-f(b)a + f(a)a + f(a)b - f(a)a}{b - a}$$ $$L_1 = \frac {f(b) - f(a)}{b - a}x + \frac {f(a)b-f(b)a}{b - a}$$
$$L_2 = m \cdot (x - b) + f(b)$$

$$L_2 = \frac {f(b) - f(a)}{b - a} \cdot (x - b) + f(b)$$

$$L_2 = \frac {f(b) - f(a)}{b - a}x - \frac {f(b) - f(a)}{b - a} b + f(b)$$

$$L_2 = \frac {f(b) - f(a)}{b - a}x + \frac {-f(b)b + f(a)b + f(b)b - f(b)a}{b - a}$$

$$L_2 = \frac {f(b) - f(a)}{b - a}x + \frac {f(a)b - f(b)a}{b - a}$$
$$L_1 = L_2$$
Para el enfoque menos de fuerza bruta, una función $y = f(x - k) + j$ es la función $f$ desplazar a la derecha por $k$ y en $j$ (esto es muy importante para entender las funciones).

Su función es $y = mx$ .

Así que en caso $L_1$ nos desplazamos a la derecha por $a$ y en $f(a)$ . En caso de que $L_2$ nos desplazamos a la derecha por $b$ y en $f(b)$ .

$L_2$ es $(b - a)$ más a la derecha que $L_1$ . $L_2$ es $f(b) - f(a)$ más arriba que $L_1$ . Pero ese cociente es tu pendiente, así que tienes la misma recta.