Hay una medida de la 'uniformidad' de propagación?

Question

Miré en la web, pero no pudo encontrar nada útil.

Estoy básicamente buscando una manera de medir cómo el 'uniforme' de un valor es distribuido. Como en un 'uniforme' distribuido de distribución como X:

y un 'desigual' distribuido de distribución Y de aproximadamente la misma media y desviación estándar:

Pero, ¿hay alguna uniformidad de la medida m, tal que m(X) > m(Y)? Si no la hay, ¿cuál sería la mejor manera de crear una medida como esta?

(Imágenes de captura de pantalla de la Khan Academy)

Answer 1

Un estándar, potente, bien entendido que, en teoría bien establecida, y frecuentemente implementadas medida de la "uniformidad" es la K de Ripley función y su pariente cercano, el L de la función. Aunque estos suelen ser utilizados para evaluar dos dimensiones espaciales de la configuración de los puntos, el análisis necesario para adaptarlos a una dimensión (que generalmente no se da en las referencias) es simple.

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La teoría de la

El K de la función de las estimaciones de la media de la proporción de puntos dentro de una distancia $d$ de un típico punto. Para una distribución uniforme en el intervalo de $[0,1]$, la proporción verdadera puede ser calculado y (asintóticamente en el tamaño de la muestra) es igual a $1 - (1-d)^2$. La adecuada dimensiones de la versión de la L función resta este valor de K para mostrar las desviaciones de la homogeneidad. Por lo tanto, podríamos considerar la normalización de cualquier lote de datos para tener una gama de unidades y el examen de su L función de las desviaciones alrededor de cero.

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Trabajó Ejemplos

Para ilustrar, he simulado $999$ muestras independientes de tamaño $64$ a partir de una distribución uniforme y planearon su (normalizado) L funciones para distancias cortas (de$0$$1/3$), creando un sobre para la estimación de la distribución de muestreo de la L función. (Puntos graficados bien dentro de esta dotación puede ser significativamente distinguidos de la uniformidad.) En esto han conspirado de la L funciones para las muestras del mismo tamaño de una U-forma de la distribución, una mezcla de distribución con cuatro obvio componentes, y una distribución Normal estándar. Los histogramas de estas muestras (y de sus padres distribuciones) se muestran a modo de referencia, el uso de símbolos de línea para que coincida con los de la L funciones.

La fuerte separados los picos de la forma de U de distribución (líneas discontinuas de la línea roja, a la izquierda del histograma) crear grupos de estrechamente espaciados valores. Esto se refleja por una pendiente muy grande en la L de la función en $0$. La L función luego disminuye, llegando a ser negativo para reflejar las brechas en distancias intermedias.

La muestra de la distribución normal (línea azul sólida, de más a la derecha del histograma) está bastante cerca distribuidos de manera uniforme. En consecuencia, L función no salen de $0$ rápidamente. Sin embargo, por las distancias de $0.10$ o así, ha aumentado suficientemente por encima de la envolvente de la señal de una ligera tendencia a agruparse. La subida continua a través de distancias intermedias indica el agrupamiento difuso y generalizado (no se limita a algunos picos aislados).

La inicial de gran pendiente para la muestra de la mezcla de la distribución (media histograma) revela la agrupación en pequeñas distancias (menos de $0.15$). Cayendo a niveles negativos, las señales de separación en distancias intermedias. Comparando esto con la forma de U de la distribución de L función es revelador: las pistas de $0$, los importes por los que estas curvas de elevarse por encima de $0$, y las tasas a las que finalmente descender de nuevo a $0$ dar información sobre la naturaleza de la agrupación presentes en los datos. Cualquiera de estas características podría ser elegida como una única medida de "nivelación" para adaptarse a una aplicación en particular.

Estos ejemplos muestran cómo un L-función puede ser examinado para evaluar las salidas de los datos de la uniformidad ("uniformidad") y cómo cuantitativo de la información acerca de la escala y la naturaleza de las salidas puede ser extraída.

(Uno puede, de hecho, la trama de toda la L función, que se extiende a la totalidad normalizado distancia de $1$, para evaluar a gran escala de las desviaciones de la homogeneidad. Normalmente, sin embargo, evaluar el comportamiento de los datos en distancias menores es de la mayor importancia.)

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Software

R código para generar esta figura de la siguiente manera. Se empieza por definir funciones para calcular K y L. Se crea una capacidad para simular a partir de una mezcla de distribución. A continuación, genera los datos simulados y hace que las parcelas.

Ripley.K <- function(x, scale) {
  # Arguments:
  # x is an array of data.
  # scale (not actually used) is an option to rescale the data.
  #
  # Return value:
  # A function that calculates Ripley's K for any value between 0 and 1 (or `scale`).
  #
  x.pairs <- outer(x, x, function(a,b) abs(a-b))  # All pairwise distances
  x.pairs <- x.pairs[lower.tri(x.pairs)]          # Distances between distinct pairs
  if(missing(scale)) scale <- diff(range(x.pairs))# Rescale distances to [0,1]
  x.pairs <- x.pairs / scale
  #
  # The built-in `ecdf` function returns the proportion of values in `x.pairs` that
  # are less than or equal to its argument.
  #
  return (ecdf(x.pairs))
}
#
# The one-dimensional L function.
# It merely subtracts 1 - (1-y)^2 from `Ripley.K(x)(y)`.  
# Its argument `x` is an array of data values.
#
Ripley.L <- function(x) {function(y) Ripley.K(x)(y) - 1 + (1-y)^2}
#-------------------------------------------------------------------------------#
set.seed(17)
#
# Create mixtures of random variables.
#
rmixture <- function(n, p=1, f=list(runif), factor=10) {
  q <- ceiling(factor * abs(p) * n / sum(abs(p)))
  x <- as.vector(unlist(mapply(function(y,f) f(y), q, f)))
  sample(x, n)
}
dmixture <- function(x, p=1, f=list(dunif)) {
  z <- matrix(unlist(sapply(f, function(g) g(x))), ncol=length(f))
  z %*% (abs(p) / sum(abs(p)))
}
p <- rep(1, 4)
fg <- lapply(p, function(q) {
  v <- runif(1,0,30)
  list(function(n) rnorm(n,v), function(x) dnorm(x,v), v)
  })
f <- lapply(fg, function(u) u[[1]]) # For random sampling
g <- lapply(fg, function(u) u[[2]]) # The distribution functions
v <- sapply(fg, function(u) u[[3]]) # The parameters (for reference)
#-------------------------------------------------------------------------------#
#
# Study the L function.
#
n <- 64                # Sample size
alpha <- beta <- 0.2   # Beta distribution parameters

layout(matrix(c(rep(1,3), 3, 4, 2), 2, 3, byrow=TRUE), heights=c(0.6, 0.4))
#
# Display the L functions over an envelope for the uniform distribution.
#
plot(c(0,1/3), c(-1/8,1/6), type="n", 
     xlab="Normalized Distance", ylab="Total Proportion",
     main="Ripley L Functions")
invisible(replicate(999, {
  plot(Ripley.L(x.unif <- runif(n)), col="#00000010", add=TRUE)
}))
abline(h=0, lwd=2, col="White")
#
# Each of these lines generates a random set of `n` data according to a specified
# distribution, calls `Ripley.L`, and plots its values.
#
plot(Ripley.L(x.norm <- rnorm(n)), col="Blue", lwd=2, add=TRUE)
plot(Ripley.L(x.beta <- rbeta(n, alpha, beta)), col="Red", lwd=2, lty=2, add=TRUE)
plot(Ripley.L(x.mixture <- rmixture(n, p, f)), col="Green", lwd=2, lty=3, add=TRUE)
#
# Display the histograms.
#
n.breaks <- 24
h <- hist(x.norm, main="Normal Sample", breaks=n.breaks, xlab="Value")
curve(dnorm(x)*n*mean(diff(h$breaks)), add=TRUE, lwd=2, col="Blue")
    h <- hist(x.beta, main=paste0("Beta(", alpha, ",", beta, ") Sample"), 
              breaks=n.breaks, xlab="Value")
    curve(dbeta(x, alpha, beta)*n*mean(diff(h$breaks)), add=TRUE, lwd=2, lty=2, col="Red")
h <- hist(x.mixture, main="Mixture Sample", breaks=n.breaks, xlab="Value")
curve(dmixture(x, p, g)*n*mean(diff(h$breaks)), add=TRUE, lwd=2, lty=3, col="Green")

Answer 2

Supongo que usted desea medir cuán cerca está la distribución uniforme.

Usted puede mirar en la distancia entre la función de distribución acumulativa de una distribución uniforme y empírica de la función de distribución acumulativa de la muestra.

Supongamos que la variable está definida en el conjunto $\{1,2,3,4,5\}$. A continuación, la distribución uniforme tiene el cdf $F_u(x)$ dada por

$$F_u(x) = \sum_{i=1}^{[x]} 1/5 .$$

Ahora, suponga que la muestra $X$$1,3,5$. A continuación, la distribución empírica de los $X$ es

$$ F_X(1) = 1/3, F_X(2) = 1/3, F_X(3) = 2/3, F_X(4) = 2/3, F_X(5) = 1 $$

Y dejar que la muestra $Y$$1,1,5$. A continuación, la distribución empírica de los $Y$ es

$$ F_Y(1) = 2/3, F_Y(2) = 2/3, F_Y(3) = 2/3, F_Y(4) = 2/3, F_Y(5) = 1 $$

Ahora, como una medida de la distancia entre las distribuciones que vamos a tener la suma de distancias de cada punto, es decir,

$$ d(F,G) = \sum_{i=1}^5 | F(x) - G(x)|. $$

Usted puede encontrar fácilmente que $d(F_u,F_X) < d(F_u,F_Y) $.

En los casos más complicados que usted necesita para revisar la norma utilizada anteriormente, pero la idea principal sigue siendo el mismo. Si usted necesita el procedimiento de prueba, puede ser bueno para el uso de normas para que las pruebas se desarrollan (los que @TomMinka señalado).

Answer 3

Si entiendo tu pregunta correctamente, el "más aún" de distribución para usted sería uno en el que la variable aleatoria toma cada valor observado de una vez-uniforme en un sentido. Si hay "grupos" de las observaciones en el mismo valor, que sería desigual. Suponiendo que estamos hablando discretas observaciones, tal vez usted podría mirar tanto el promedio de la diferencia entre la probabilidad de masa puntos, la máxima diferencia o tal vez ¿cuántas observaciones tienen una diferencia de la "media" encima de un cierto umbral.

Si fuera verdaderamente uniforme en las observaciones, todos los PM los puntos de igual valor, y la diferencia entre el máximo y el mínimo es 0. Cuanto más cerca de la media de la diferencia es 0, el más "" la mayor parte de las observaciones, menor es la diferencia máxima y el menos "picos" también se va a mostrar cómo "incluso" las observaciones empíricas.

Actualización Por supuesto, usted puede utilizar una prueba de chi-cuadrado de homogeneidad o comparar la distribución empírica de la función con un uniforme, pero en esos casos, usted será penalizado por cualquiera de los grandes "lagunas" en las observaciones, aunque la distribución de las observaciones son todavía "incluso".

Answer 4

Suena como que usted está interesado en el pares diferencias de forma aleatoria los valores observados en una secuencia particular, como en el caso de la modelación de crecimiento o de tendencia. Hay un número de maneras de hacerlo en las series de tiempo de análisis. Una muy planteamiento básico es sólo un simple modelo lineal de regresión de la secuencia de valores sobre sus valores de índice. En el primer caso, el modelo lineal daría una singular coeficiente de regresión de 1 (predictivo $R^2 = 1$). En el segundo caso, esto sería un coeficiente de 1.51 y un $R^2$ de 0.78.