Mi pregunta está motivada por el siguiente cálculo bien conocido. Sea $M$ sea una colector de espín riemanniano par dimensional y sea $D$ sea el operador espinor de Dirac en $M$ . Lichnerowicz demostró que $D^2 = \nabla^* \nabla + \kappa/4$ donde $\nabla$ es la conexión de espín en el haz espinor y $\kappa$ es la curvatura escalar de $M$ . No es difícil demostrar que $\nabla^* \nabla$ es un operador positivo y, por tanto, si $\kappa > 0$ existe un intervalo que contiene $0$ en la línea real que evita el espectro de $D^2$ (y por tanto $D$ ). Un corolario es el conocido hecho de que el índice de Fredholm de $D$ desaparece si $M$ tiene curvatura escalar positiva.
Este ejemplo es un punto de partida para toda la teoría de las obstrucciones de curvatura escalar positiva. La maquinaria involucrada se vuelve más sofisticada, pero al final todo lo que uno realmente necesita acerca de las métricas de curvatura escalar positiva en las variedades de espín es el hecho de que crean una brecha alrededor de 0 en el espectro del operador de Dirac espinor.
Así que me pregunto si hay otras causas geométricas para los huecos en el espectro de un operador de Dirac. Nótese que no quiero restringir mi atención al operador espinor Dirac; creo que la cuestión es particularmente interesante para el operador de firma o el operador de Dolbeault, por ejemplo. Soy consciente de que la teoría de operadores elípticos de este tipo ayuda a demostrar la fórmula del carácter de Weyl, así que es posible que el tipo de respuesta que estoy buscando pueda venir de la teoría de la representación.
¿Alguna idea?
