Pruebas $\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$

Question

Posible duplicado:
¿Cómo puedo demostrar $\sup(A+B)=\sup A+\sup B$ si $A+B= \lbrace a+b\mid a\in A, b\in B\rbrace $

He aquí una pregunta de deberes en la que estoy trabajando actualmente:

Sea $A,B \subset \mathbb{R}$ conjuntos no vacíos limitados por arriba y por abajo. Demostrar que $A+B$ tiene un límite superior y que $\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$

$A+B=\{a+b:a\in A, b \in B\}$

Era bastante fácil de mostrar a $A+B$ tiene como límite superior $\sup(A)+\sup(B)$ pero no sé muy bien cómo demostrar que también es el supremum. ¿Alguna pista?

Gracias.

Answer 1

Bien $a+b\leq \sup(A)+sup(B)$ entonces $\sup(A+B) \leq \sup (A)+\sup(B)$ para la otra desigualdad considere $a_{\epsilon}\in A$ tal que $ a_{\epsilon}>\sup A- \epsilon /2$ et $b_{\epsilon}\in B$ tal que $ b_{\epsilon}>\sup B- \epsilon /2$ entonces

$\sup(A+B)\geq a_{\epsilon}+b_\epsilon>\sup A +\sup B-\epsilon$ para cualquier $\epsilon>0$ entonces

$\sup(A+B)\geq \sup A +\sup B$ $\blacksquare$