¡Conjunto parcialmente ordenado y un método que puede resolver rápidamente estas preguntas?!

Question

Me preparo para el examen de cualificación Msc. Se trata de 2015 Exámenes, con respuesta es la opción (2).

Establecer $M={2,3,4,...}$ se da. Supongamos que $M \times M$ está ordenado en el que $ (a,b) \leq (c,d)$ sólo si $c$ es divisible en $a$ y condición $b \leq d$ se mantiene. Cuál de estas opciones es cierta sobre los elementos mínimo y máximo de un conjunto parcial ordenado $(M \times M, \leq)$ ? en la siguiente opción $p$ es un número primo arbitrario.

1) cada par $(p,m)$ para $m \in M$ sea un elemento mínimo y no exista un elemento máximo.

2) cada par $(p,m)$ para $m \in M$ sea un elemento mínimo y exista un elemento máximo.

3) cada par $(p,2)$ para $m \in M$ sea un elemento mínimo y no exista un elemento máximo.

4) cada par $(p,m)$ para $m \in M$ sea un elemento mínimo y exista un elemento máximo.

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mi reto es a través de un método que puede resolver este problema y como él, de una manera rápida? es cualquier descripción o pista?

Answer 1

Me parece que la opción (3) es correcta.

• $\boxed{(p, m) \text{ is not minimal for }m \geq 3}$ : Desde $m \geq 3$ sabemos que $m - 1 \geq 2$ Así que $(p, m - 1) \in M \times M - \{(p, m)\}$ . Desde $p \mid p$ et $m - 1 \leq m$ tenemos que $(p, m - 1) \leq (p, m)$ .

• $\boxed{\text{There is no maximal element}}$ : Dado cualquier elemento candidato maximal $(p, q) \in M \times M$ observe que $p \mid p$ et $q \leq q + 1$ para que $(p, q) \leq (p, q + 1)$ . Así, puesto que $(p, q + 1) \in M \times M - \{(p, q)\}$ hemos encontrado otro elemento mayor que el elemento máximo candidato.