Es este un conocido algebraica de identidad?

Question

En el curso de análisis de una determinada cadena de Markov, una vez tuve que demostrar la siguiente identidad algebraica.

Hay una mancha o de prueba conocidos?

Para $n$-tuplas $(x_1,x_2,\dots, x_n)$ de los números reales positivos definir $$\mu(x_1,x_2,\dots, x_n)=\prod_{j=1}^n {x_j\over x_j+x_{j+1}+\cdots+x_n}.$$

Entonces si $x^\ast$ es otro de los reales positivos, y $1\leq k\leq n+1$, luego definir $x^*_k$ $(n+1)$- tupla $(x_1,x_2,\dots, x^*,\dots, x_n)$ donde $x^*$ $k$º lugar. La identidad es

$$\sum_{k=1}^{n+1}\ \mu(x^\ast_k)=\mu(x_1,x_2,\dots, x_n).$$

Por ejemplo, $$ {xyz\(x+y+z)(y+z)z} + {yxz\(x+y+z)(x+z)z} + {yzx\(y+z+x)(z+x)x}={yz\(y+z)z}.$$

Answer 1

Considere el siguiente experimento: hay un intervalo de longitud de $x_1 + \cdots + x_n$ dividido en $n$ segmentos de tamaños de $x_1,\ldots,x_n$. Nos muestra una secuencia infinita de puntos del intervalo, y escribir fuera de los segmentos correspondientes a los puntos. A continuación, nos fijamos en el orden en el que los segmentos son "descubiertos", es decir, que uno fue golpeado primero, que fue el siguiente, y así sucesivamente. A continuación, $\mu(x_1,\ldots,x_n)$ es la probabilidad de que los segmentos se descubrieron en la orden de $x_1,\ldots,x_n$.

Ahora supongamos que queremos añadir un segmento extra $x^* $, y repetir el mismo experimento. Si simplemente debemos olvidarnos de este segmento extra, el nuevo experimento es exactamente igual que el viejo. Este es el mismo que se ejecuta el nuevo experimento y la eliminación de $x^* $ a partir de la orden de descubrimiento. Su identidad sigue.

Answer 2

Aquí está una prueba por inducción sobre el número de elementos de la tupla.

(Ojalá, tengo el álgebra a la derecha. En cualquier caso, sería fácil de comprobar).

Primero un Lexema.

Lema: Para $n \ge 2$ tenemos que $\displaystyle \mu(x_1, ..., x_n) = \frac{x_{n-1}}{x_{n-1}+x_n} \mu(x_1, .., x_{n-2}, x_{n-1} + x_n)$

Prueba: Fácil De Álgebra.

Deje $y = x^{*}$.

Caso Base

Para $n=1$ es fácil ver que $ \displaystyle \mu(y, x) + \mu(x, y) = \mu(x)$

Inducción Paso

Ahora supongamos $n \ge 2$

Tenemos que (me han cambiado su notación ligeramente, empiezo de 0 en lugar de 1)

$$\sum_{k=0}^{n-2} \mu(x_1, x_2, \dots , x_k, y, x_{k+1}, \dots,x_{n-1}, x_{n})$$ $$ = \sum_{k=0}^{n-2}\frac{x_{n-1}}{x_{n-1}+x_{n}} \mu(x_1, x_2, ..., x_k, y, \dots, x_{n-1} + x_{n})$$

Ahora es fácil ver que

$$\mu(x_1, \dots, x_{n-1}, y, x_n) + \mu(x_1, \dots, x_{n-1}, x_n, y)$$

$$ = \frac{x_{n-1}}{x_{n-1}+x_n} \mu(x_1, x_2, ..., x_{n-2}, x_{n-1} + x_n, y)$$

Así tenemos que

$$ \sum_{k=0}^{n} \mu(x_{k}^{*}) $$ $$ = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{x_{n-1}}{x_{n-1}+x_{n}} \mu (z_{k}^{*})$$

donde

$$ z = (x_1, \dots, x_{n-2}, x_{n-1}+x_{n})$$

Así, por medio de la inducción hyptothesis, este es el mismo como

$$ \frac{x_{n-1}}{x_{n-1}+x_{n}} \mu (x_1, \dots, x_{n-2}, x_{n-1}+x_{n}) $$

= $$ \mu(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, x_n)$$