Demostrar el acuerdo sobre una pregunta de escala Likert en una sola población

Question

Tengo un población de personas a las que formulo una pregunta de escala Likert (1 = totalmente en desacuerdo; 5 = totalmente de acuerdo).

Quiero demostrar que la gente está mayoritariamente de acuerdo con la afirmación que se valora.

En concreto, quiero demostrar que hay más gente que responde "de acuerdo" o "muy de acuerdo" de lo que cabría esperar si la gente eligiera las respuestas al azar. En otras palabras, hay una tendencia significativa a elegir "de acuerdo" o "totalmente de acuerdo" frente a las demás opciones.

Todos los recursos que he encontrado hablan de comparar dos grupos. Yo sólo tengo un grupo.

Mi primera idea fue utilizar una prueba binomial, pero los posibles resultados no son igual de probables. Por ejemplo, si consideramos que "éxito" significa "elegir de acuerdo o muy de acuerdo", entonces hay 2/5 de posibilidades de éxito y 3/5 de posibilidades de fracaso... y eso suponiendo que no tengamos en cuenta el sesgo de tendencia central. Si lo he entendido bien, esto significa que no puedo utilizar una prueba binomial de la forma tradicional... aunque quizá alguien que la entienda mejor pueda modificarla para tener en cuenta las probabilidades desiguales de éxito y fracaso.

¿Puede alguien indicarme cuál es la prueba adecuada?

Answer 1

Si tiene $n = 100$ sujetos que eligen entre las cinco categorías en al azar, entonces el número de aciertos (Likert 4's o 5's) es $X \sim \mathsf{Binom}(n = 100, p = 2/5 = .4)$

Prueba binomial exacta. Quiere probar $H_0: p = 0.4$ vs. $H_a: p > 0.4.$ Puede utilizar una prueba exacta que rechace $H_0$ a favor de $H_a,$ si $X \ge 49.$

Nivel de significación. Esa prueba tiene un nivel de significación del 4,23% porque $$P(X \ge 49|p=.4) = 1 - P(X \le 48|p=.4) = 0.0423,$$ calculado en R, donde pbinom es una FCD binomial.

1 - pbinom(48, 100, .4)
[1] 0.04230142

Poder. La potencia frente a la alternativa concreta de que haya un 60% de Aciertos, es del 99%. (La potencia frente a la alternativa $p = 0.55$ es de alrededor del 90%).

$$P(X \ge 49|p=.6) = 1 - P(X \le 48|p=.6) = 0.99.$$

 1 - pbinom(48, 100, .6)
 [1] 0.9899949
 1 - pbinom(48, 100, .55)
 [1] 0.9040484

Resumen gráfico. El panel superior de la siguiente figura muestra la distribución nula $\mathsf{Binom}(100,.4);$ el nivel de significación es la suma de los alturas a la derecha de la línea roja vertical. Del mismo modo, el panel muestra la distribución alternativa $\mathsf{Binom}(100, .6),$ ilustrando el poder contra la alternativa $p = 0.6.$

Notas: (1) Se pueden construir pruebas similares para números diferentes $n$ de sujetos. (2) Para un número de $n$ (decir $n\ge 25)$ se podría utilizar una aproximación normal para obtener buenas aproximaciones de las probabilidades relevantes. (3) Muchos programas informáticos estadísticos tienen procedimientos para hacer pruebas binomiales, a veces llamadas "prueba de una sola proporción". En R, la prueba es binom.test . La salida de Minitab para una prueba de este tipo es la siguiente:

Test and CI for One Proportion 

Test of p = 0.4 vs p > 0.4

                                              Exact
Sample   X    N  Sample p  95% Lower Bound  P-Value
1       51  100  0.510000         0.423411    0.017