¿Cómo se pasa de un paso a otro en la diferenciación implícita?

Question

Así que tratando de entender el proceso de paso aquí,

$$y^2 - 2x = 1 - 2y$$

Así que después de algunas simplificaciones obtenemos:

$$yy' - 1 = -y'$$

Pero lo que me confunde es cómo eso se convierte en

$$(y+1)y' = 1$$

Conozco la respuesta y la entiendo, pero no comprendo cómo la $-1$ (lado izquierdo) y $-y'$ (lado derecho) se convierten en positivos.

Answer 1

Piensa en $y'$ como variable, digamos, $Z$ $$yZ - 1 = -Z$$

Añadir $Z+1$ a ambos lados da como resultado $yZ+Z = 1$ que se convierte en $Z(y+1) = 1$ o $$(y+1)y'=1$$

Answer 2

\begin{align} y^2-2x &= 1-2y\\[0.5em] {} &\Downarrow {}\\[0.5em] 2yy'-2 &= -2y'\\[0.5em] {} &\Downarrow {}\\[0.5em] yy' - 1 &= -y'\\[0.5em] {} &\Downarrow {}\\[0.5em] yy'+y' &= 1\\[0.5em] {} &\Downarrow {}\\[0.5em] y'(y+1) &= 1\\[0.5em] {} &\Downarrow {}\\[0.5em] y' &= \frac{1}{y+1} \end{align}