Si el conjunto de todos los polinomios es infinito, ¿por qué el conjunto de todas las funciones sobre [a,b] es también infinito?

Question

Entonces se sabe que el conjunto de todos los polinomios es infinito-dimensional. Sin embargo, si $U[a,b]$ es el conjunto de todas las funciones definidas sobre [a,b], entonces ¿cómo demostraría que U[a,b] es también infinito-dimensional?

Answer 1

Ya lo has hecho, considera las funciones polinómicas sobre [a,b], es decir,

Considere el mapa $F:\mathbb{R}[x] \rightarrow U[a,b]$ que envía el polinomio g(x) al mapa de polinomios $g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ trivialmente F es lineal e inyectiva porque si dos funciones polinómicas coinciden en un intervalo provienen del mismo polinomio. Esto te demuestra que puedes incrustar un espacio de dimensión infinita en $U[a,b]$ es decir, $U[a,b]$ tiene infinitos vectores linealmente independientes.

Answer 2

Las funciones $1_{\{x\}}$ $(a\leq x\leq b)$ son obviamente linealmente independientes, y hay infinidad de ellas.