Pregunta sobre el cálculo de probabilidades

Question

Si tengo un byte aleatorio que consta de 8 bits.

por ejemplo 11011101

Quiero calcular la probabilidad de que el primer número x de bits de cualquier byte aleatorio sea cero.

Por ejemplo: calcule el número medio de intentos necesarios para encontrar un byte aleatorio con 4 ceros a la izquierda.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Suponiendo un al azar byte tiene todos sus bits 0 o 1 con probabilidad $\frac{1}{2}$ independientes entre sí, la respuesta a la probabilidad parece bastante sencilla.

La probabilidad de que los primeros x bits de dicho número sean cero (o lo que sea) es $\frac{1}{2^x}$ .

Sobre tu segunda pregunta: ¿cuál es el número medio de intentos para encontrar un número? En realidad es una pregunta más general: ¿cuál es el número de conjeturas para encontrar algo cuya probabilidad es $\tilde{p}$ .

No calcules esto.

$$ \langle N \rangle = 1 \cdot \tilde{p} + 2 \cdot (1-\tilde{p}) \cdot \tilde{p} + 3 \cdot (1-\tilde{p})^2 \cdot \tilde{p} + \ldots $$

Significa que necesitas 1 conjetura con probabilidad $\tilde{p}$ . La probabilidad de que no ocurra a la primera es $1-\tilde{p}$ por lo que se necesitan 2 conjeturas con probabilidad $2 \cdot (1-\tilde{p}) \cdot \tilde{p}$ . Y así sucesivamente.

Utilizaremos el siguiente hecho conocido:

$$ 1 + (1-\tilde{p}) + (1-\tilde{p})^2 + (1-\tilde{p})^3 + \ldots = \frac{1}{\tilde{p}} $$

$$ \begin{eqnarray} \langle N \rangle &=& 1 \cdot \tilde{p} + 2 \cdot (1-\tilde{p}) \cdot \tilde{p} + 3 \cdot (1-\tilde{p})^2 \cdot \tilde{p} + \ldots = \\ &=& \tilde{p} \cdot \left[ 1 + 2 \cdot (1-\tilde{p}) + 3 \cdot (1-\tilde{p})^2 + \ldots \right] = \\ &=& \tilde{p} \cdot \left[ 1 + (1-\tilde{p}) + (1-\tilde{p})^2 + \ldots + (1-\tilde{p}) + (1-\tilde{p})^2 + ... + (1-\tilde{p})^2 + (1-\tilde{p})^3 \ldots \right] = \\ &=& \tilde{p} \cdot \left[ \frac{1}{\tilde{p}} + (1-\tilde{p}) \cdot \frac{1}{\tilde{p}} + (1-\tilde{p})^2 \cdot \frac{1}{\tilde{p}} + \ldots \right] = \\ &=& 1 + (1-\tilde{p}) + (1-\tilde{p})^2 + ... = \frac{1}{\tilde{p}} \end{eqnarray} $$

$$ \langle N \rangle = \frac{1}{\tilde{p}} $$

Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es $\langle N \rangle = 2^x$ .

Answer 2

Existe otro buen truco para hallar el valor esperado de una variable geométrica( $p$ ), es decir, el número esperado de lanzamientos hasta el primer acierto. Es como sigue: Obsérvese que $E[X] = 1 + (1-p) E[X]$ . Esto se debe a que hay que mirar el primer lanzamiento de todos modos. Si el primer lanzamiento no es un éxito (con probabilidad $1-p$ ) se vuelve a empezar desde el segundo lanzamiento. Si el primer lanzamiento es un éxito, se detiene. Resolviendo esta ecuación obtenemos $E[X]=1/p$ .

He aquí una pregunta relacionada que puede ser de interés. Si estás mirando el byte bit a bit, ¿cuántos bits esperas mirar hasta que veas una cadena de $4$ ¿Ceros?