Supongamos que tengo una curva suave $\gamma: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ en el $xy$ -dado por $t \mapsto \gamma(t)=(\gamma_1(t),\gamma_2(t))$ que se cruza con el $x$ -eje transversalmente. ¿Es entonces posible expresar localmente $\gamma$ en términos de $\gamma_2$ ?
Todavía no he sido capaz de construir un contraejemplo, pero tampoco una prueba. Cualquier ayuda será bienvenida.
Sea $t_0 \in \mathbb{R}$ sea tal que $\gamma_2(t_0)=0$ . Desde $\gamma$ interseca transversalmente el $x$ -tenemos $\dot{\gamma}_2(t_0) \ne 0$ . Gracias al teorema de la función inversa, existe $\epsilon,\delta>0$ tal que $\gamma_2: (t_0-\epsilon,t_0+\epsilon)\to (-\delta,\delta)$ es un difeomorfismo.
Por lo tanto $\gamma(\gamma_2^{-1}(\tau))=(\gamma_1\circ\gamma_2^{-1}(\tau),\tau) \quad \forall\ \tau \in (-\delta,\delta)$ .
Para concretar mi comentario en una respuesta: la condición de que $\gamma$ se cruza con $x$ -transversalmente equivale a afirmar que $\frac{\partial \gamma}{\partial \gamma_1}$ es distinto de cero, por lo que por el teorema de la función implícita podemos escribir $\gamma_1$ en función de $\gamma_2$ y por lo tanto $\gamma$ en función de $\gamma_2$ .
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