Vale, después de haber dedicado mi hora de almuerzo a esto (¡los sacrificios que hago por la Física!) tengo una respuesta para ti. No estoy seguro de que sea la mejor respuesta posible, así que si alguien puede mejorarla, por favor, intervenga.
En primer lugar tienes toda la razón al decir que la densidad de tu objeto aumenta a medida que se contrae Lorentz. Esto no es una ilusión: la RHIC lo observa todos los días. Obsérvese cómo las ilustraciones de la página del RHIC que he enlazado muestran los núcleos en colisión aplanados en forma de disco. Sin embargo, el objeto contraído no puede formar un agujero negro porque esto viola uno de los principios de la relatividad, es decir, la presencia o no del agujero negro podría utilizarse para saber quién se está moviendo y quién está quieto. Entonces, ¿qué ocurre?
La paradoja surge de tu suposición de que es la masa/densidad del objeto lo que determina si será un agujero negro o no, porque esto no es cierto, o mejor dicho, sólo es cierto en casos especiales. En Ecuación de Einstein que nos da la curvatura, y por lo tanto si se formará un agujero negro, es:
$$G_{\alpha\beta} = 8\pi T_{\alpha\beta}$$
$G_{\alpha\beta}$ es el Tensor de Einstein que describe la curvatura, mientras que $T_{\alpha\beta}$ es el tensor tensión-energía . Así que no es la masa/densidad del objeto lo que determina la curvatura, sino el tensor de tensión-energía.
Aquí hay un atajo, porque el tensor tensión-energía es un invariante, es decir, es el mismo en todos los sistemas de coordenadas. Eso significa que el tensor tensión-energía que observamos es el mismo que el tensor tensión-energía observado en el marco de reposo de tu objeto de prueba. Por tanto, si el objeto de prueba no forma un agujero negro en su sistema de reposo, tampoco lo formará en el sistema de coordenadas de la Tierra. cualquier otro sistema de coordenadas, incluso el que usted describe en el que el objeto se mueve casi a la velocidad de la luz.
Sin embargo, es en este punto cuando me quedo un poco sin fuerzas, por lo que creo que hay margen para mejorar esta respuesta. Estaría bien dar una idea intuitiva de lo que es el tensor tensión-energía y por qué no cambia cuando vemos que el objeto se mueve casi a la velocidad de la luz. Normalmente escribimos el tensor tensión-energía como una matriz de 4 x 4, y con algunas aproximaciones sobre tu objeto de prueba el tensor sólo tiene un valor distinto de cero, $T_{00}$ que es efectivamente la densidad. Si escribimos el tensor tensión-energía en nuestro marco, en el que el objeto se mueve, nuestro valor para $T_{00}$ aumentará a medida que aumente la densidad, y si nada más cambiara esto acabaría formando un agujero negro. Sin embargo, en nuestro marco, las demás entradas de la matriz ya no son cero. Los cambios en las otras entradas equilibran el cambio en la densidad, así que cuando introducimos nuestro tensor de tensión-energía en la ecuación de Einstein obtenemos la misma curvatura que en el marco de reposo del objeto de prueba. No hay agujero negro.
