Principio Ejes de inercia y momentos de inercia

Question

1. Los ejes principales de inercia se definen como los vectores propios de las matrices del tensor de inercia. Entiendo que un tensor diagonalizado puede dar lugar a estos ejes, pero ¿por qué forman necesariamente los ejes de un marco en rotación? ¿Alguien puede explicar por qué?

2. Por último, ¿por qué es cierto que cualquier eje de simetría es siempre un eje principal?

3. Si $I_{xx} = I_{yy}$ por qué es cualquier combinación lineal de dos direcciones ortogonales en el lugar abarcado por el vector propio $e_1$ y $e_2$ ¿se pueden elegir siempre como ejes principales?

Estoy muy confundido... Esperando que alguien pueda arrojar luz para mí.

Answer 1

1) No entiendo muy bien sus preguntas. Considera la posibilidad de reformularla para que quede un poco más clara. Lo que puedo decirle es lo siguiente:

La definición matemática del ejes principales de inercia es que son los vectores propios de la tensor de inercia .

La interpretación física del ejes principales de inercia es que representan las direcciones a lo largo de las cuales el momento angular $\mathbf{L}$ es paralela a la velocidad angular $\mathbf{\omega}$ Así que $\mathbf{L} = I\mathbf{\omega} $ con $I$ = constante frente a $\mathbf{L} = \underline{\underline{I}} \cdot \mathbf{\omega} $ .

Al calcular el tensor de inercia $\underline{\underline{I}} $ se utiliza una base determinada (para encontrar todas las distancias entre las partes del sistema). Si esa base fuera el conjunto de ejes principales, entonces la matriz resultaría ser diagonal. En otras palabras, si quieres diagonalizar el tensor de inercia mediante una transformación de similitud $\underline{\underline{S}}^{-1}\underline{\underline{I}}\underline{\underline{S}}$ habría que utilizar la matriz formada por los ejes principales de inercia como $\underline{\underline{S}}$ .

2) Existen algunos trucos para determinar qué ejes son ejes principales. Se pueden demostrar matemáticamente, pero normalmente basta con una comprensión cualitativa (es decir, tiene sentido, ¿por qué no iban a serlo?).

Si un objeto tiene simetría rotacional (es decir, puede girar alrededor de un eje sin que cambie nada en él: forma, distribución de masas, etc.), entonces el eje de simetría es un eje principal.

Si un objeto tiene una simetría de reflexión/espejo (es decir, un triángulo equilátero es simétrico respecto a una línea/plano que pasa por un vértice y el punto medio de la arista opuesta), entonces la dirección normal al plano de simetría es un eje principal.

3) En el caso de un tensor de inercia diagonal (es decir, utilizando los ejes principales como base), $I_{xx} = I_{yy}$ significa que dos valores propios son iguales y por lo tanto están degenerados. Si intentas calcular el vector propio asociado a este valor propio, encontrarás un plano (una ecuación en términos de x, y y z). Básicamente, cualquier vector de ese plano será un eje principal, pero es habitual elegir dos vectores ortonormales, sólo para facilitarnos la vida.