Disponer de un conjunto de tamaño M, estoy dibujando M elementos con reemplazo. Lo que se espera que el número de elementos únicos que fue escogido?
Gracias, Jarek
Respuestas
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Deje $Y$ ser el número de elementos únicos que elegido. Deje $X_i$ $1$ si el elemento $i$ se recogió y $0$ si no. Tenemos $E[X_i] = 1 P(X_i = 1) + 0 P(X_i = 0) = P(X_i = 1) = 1 - P(X_i = 0)$. Desde $P(X_i = 0)$ es la probabilidad de que el elemento $i$ es no recogido, esta es la probabilidad de que $i$ no contesta con alguna de las primera, segunda, tercera, etc., opciones. Por lo tanto $P(X_i = 0) = \left(\frac{M-1}{M}\right)^M$.
Por lo tanto, $$\begin{align}E[Y] &= E\left[\sum_{i=1}^M X_i\right] = \sum_{i=1}^M E[X_i] = \sum_{i=1}^M P(X_i = 1) = \sum_{i=1}^M \left(1 - \left(\frac{M-1}{M}\right)^M\right) \\ &= M - \frac{(M-1)^M}{M^{M-1}}.\end{align}$$
En general, el uso de funciones de los indicadores calculados los valores esperados pueden ser muy útiles. Para más ejemplos, véase las respuestas a Encontrar la expectativa o de Otro pelotas y botes de basura pregunta o número Esperado de vecinos.
Philip Mann
Puntos
31
Gracias por la gran respuesta de Mike!
Sólo me gustaría añadir que si alguien está interesado en el por ciento de los artículos seleccionados, a continuación, $$ \frac{M - \frac{(M-1)^M}{M^{M-1}}}{M} = \frac{M - M\left(\frac{M-1}{M} \right)^M}{M} = 1 - \left(1 - \frac{1}{M} \right )^M $$
Para la gran M es aproximadamente $$ 1 - \frac{1}{e} \simeq 0.632120559 \dots $$
porque
$$ \lim_{M\to\infty}\left(1 - \frac{1}{M} \right )^M = \frac{1}{e} $$
