¿Qué relación hay entre derivados y fronteras?

Question

El (segundo) teorema fundamental del cálculo dice que

$$\int_a^b f'(x) dx = f(b) - f(a)$$

que también puede enunciarse, si se sabe lo suficiente sobre lo que viene después, como:

La integral de la derivada de una función sobre un intervalo es la misma que la función evaluada en la frontera (con signo) del intervalo.

donde tuve que insertar la palabra "firmado" para dejar claro que hay una multiplicación implícita por $-1$ cuando evalúas la función en el extremo "inferior" de la integral. Si escribimos el lado derecho de la expresión como

$$f(b) + (-1) f(a)$$

incluso a un estudiante de secundaria se le podría convencer de que es lo mismo que "integrar". $f$ sobre los dos puntos $b$ y $a$ con una multiplicación por $-1$ adjunto a la evaluación en $a$ .

Su generalización es el teorema de Stokes generalizado:

$$\int_C dw = \int_{\partial C} w$$

donde $w$ es un forma diferencial , $d$ es el derivada exterior , $C$ es un colector en el que $dw$ y $\partial$ es el operador de frontera, que mapea una variedad $C$ hasta su límite.

Esto puede parecer bastante sugerente escribiendo la integración de una forma sobre una variedad utilizando la notación del producto interior:

$$\langle C, w \rangle \equiv \int_Cw$$

en cuyo caso el teorema de Stokes se convierte en

$$\langle C, dw \rangle = \langle \partial C, w \rangle$$

que se parece sospechosamente a $\partial$ es el Adjunto hermitiano de $d$ .

Pero, ¿es realmente así? Las formas diferenciales y los colectores me parecen bastante diferentes. Si, de hecho, están relacionados de este modo, ¿existe alguna teoría que exponga esta relación, la generalice o la ponga en contexto con otras áreas de las matemáticas?

Answer 1

Quizá sea ésta la teoría a la que te refieres:

Un colector $M$ de dimensión $m$ define un $m$ -actual $[[M]]$ que es una función en el espacio de los suaves $m$ -en el siguiente sentido: $$[[M]](\omega)=\int_M\omega.$$ Si $M$ es una variedad con límites $\partial M$ entonces por el teorema de Stoke el $m$ -actual $[[M]]$ y el $(m-1)$ -actual $[[\partial M]]$ está relacionada por $$[[M]](d\omega)=\int_Md\omega=\int_{\partial M}\omega=[[\partial M]](\omega)$$ para cualquier $(m-1)$ -forma.

Personalmente, aprendí por primera vez la teoría de la corriente de la nota de clase de Demailly, que está disponible aquí .

Answer 2

Está viendo corrientes homológicas . Como Thomas mencionó en un comentario, deberías consultar algunos libros de texto sobre teoría de medidas geométricas. (El reciente libro introductorio de Lin y Yang parece bastante accesible).

Se puede encontrar un poco más de debate sobre ideas relacionadas en este hilo de MathOverflow .

Answer 3

Supongamos que su colector $C$ con límite $\partial C$ está dado como subconjunto de una variedad $M$ sin fronteras. Sea $\chi_C:M\mapsto\mathbb R$ sea la función característica de $C$ es decir $\chi_C(x)=1$ para $x\in C$ y $\chi_C(x)=0$ para $x\notin C$ . Entonces claramente $$\langle C, w \rangle \equiv \int_Cw=\int_M\chi_Cw$$ Veamos ahora $d(\chi_Cw)$ . Si $\chi_C$ sería una función suave, tendríamos $d(\chi_Cw)=d\chi_C\wedge w+\chi_C\;dw$ . Ahora interpretemos $d\chi_C$ en el sentido de distribuciones tales que $\int_Md\chi_C\wedge \phi=-\int_{\partial C}\phi$ entonces podemos concluir $$\langle C, dw \rangle = \langle \partial C, w \rangle$$ de $\int_Md\phi=0$ para $\phi$ con soporte compacto.

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Una generalización totalmente diferente del teorema fundamental del cálculo estaría relacionada con el función de distribución acumulativa conjunta $F(x_1,\ldots,x_n):=P(X_1\leq x_1,\ldots,X_n\leq x_N)$ . Esta función $F$ es una especie de antiderivada multivariable, porque permite calcular $$\int_{a_1}^{b_1}\ldots\int_{a_n}^{b_n}f(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n=\sum_{p_1\in\{a_1,b_1\}}\dots\sum_{p_n\in\{a_n,b_n\}}(-1)^?F(p_1,\ldots,p_n)$$ donde $(-1)^?$ es $1$ o $-1$ dependiendo de si el número de $p_i$ con $p_i=a_i$ es par o impar.

Esta fórmula puede generalizarse para permitir la integración sobre dominios poligonales con sólo un número finito (pequeño) de ángulos diferentes.