Sistema de ecuaciones diferenciales no lineales con "conjetura".

Question

Estoy leyendo sobre la resolución de ecuaciones diferenciales no lineales y me he topado con un ejemplo que no consigo entender. O más bien una parte de ella.

Considera el sistema:

\begin{align} x'&=x+y^2\\ y'&=-y \end{align} Si se resuelve explícitamente, la segunda ecuación da como resultado $y(t)=y_0e^{-t}$ insertando esto en la primera se obtiene \begin{align} x'=x+y^2_0e^{-2t}. \end{align} El autor del libro adivina ahora una solución particular de la forma $ce^{-2t}$ . E insertando esta conjetura en la ecuación se obtiene la solución particular: $x(t)=-\frac{1}{3}y_0^2e^{-2t}$ escribe que cualquier función de la forma \begin{align} x(t)=ce^t-\frac{1}{3}y_0^2e^{-2t} \end{align} Y la solución general viene dada entonces por \begin{align} x(t)&=\bigg(x_0+\frac{1}{3}y_0^2\bigg)e^t-\frac{1}{3}y^2_0e^{-2t}\\ y(t)&=y_0e^{-t} \end{align} .

Mi pregunta es ahora, ¿dónde inserta la conjetura $ce^{-2t}$ ¿lo es? $x=ce^{-2t}$ Si es así, parece que no entiendo la solución concreta que presenta a continuación. ¿Y cómo pasa de la solución particular a la solución general?

Una última pregunta, aunque menos importante: ¿Existe alguna buena literatura o método para "adivinar" la solución particular?

Fuente: Comienzo del capítulo 8, en Differential Equations, Dynamical Systems & An Introduction to Chaos (2ª ed.) de Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney.

Answer 1

Creo que el autor utiliza tácitamente el método de los coeficientes indeterminados . Se trata de un método para encontrar soluciones particulares para ecuaciones diferenciales lineales (ED) (no homogéneas) con coeficientes constantes.

El método funciona si el propio término no homogéneo es una solución de una ED lineal con coeficientes constantes; es decir, el término no homogéneo es una combinación lineal de (co)senos, exponenciales y polinomios. Obsérvese que $x'=x + y_0^2 e^{-2t}$ es tal DE.

Básicamente, el método parte de una buena conjetura (un ansatz) para la solución concreta. A continuación, se introduce esta "solución particular candidata" en el DE y se resuelve una ecuación algebraica para hallar los coeficientes. La dirección enlace He añadido una breve descripción sobre cómo acertar y algunos ejemplos útiles.

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Adenda:

A modo de ejemplo, resolvamos la DE $x' = x + y_0^2 e^{-2t}$ .

Primer paso: Encuentra las soluciones homogéneas: $x_{h} = c e^t$ , $c\in\mathbb{R}$ .

Segundo paso: Queremos encontrar una solución particular $x_p$ . Dado que el término no homogéneo es $y_0^2 e^{-2t}$ tomamos una solución particular de la forma $x_p = b e^{-2t}$ donde $b$ es una constante que aún debemos determinar. Introduciendo $x_p$ en la DE da $$ \begin{align*} -2 b e^{-2t} &= b e^{-2t} + y_0^2 e^{-2t} \\ -3 b e^{-2t} &= y_0^2 e^{-2t} \\ b &= -\frac{1}{3}y_0^2. \end{align*} $$ Por lo tanto $x_p = -\frac{1}{3}y_0^2 e^{-2t}$ es una solución particular, por lo que la solución general es $x = c e^t -\frac{1}{3}y_0^2 e^{-2t} $ .

Tercer paso: Si hay valores iniciales, en el último paso se sustituyen estos valores iniciales en la solución general. No se da explícitamente en su pregunta, pero supongo que en su problema $x(0)=x_0$ . Por lo tanto $$ x_0 = x(0) = c e^0 - \frac{1}{3}y_0^2 e^{-2\cdot 0} = c - \frac{1}{3}y_0^2. $$ Por lo tanto, la solución es $$ x= \bigl(x_0 + \frac{1}{3}y_0^2\bigr) e^{t} -\frac{1}{3}y_0^2 e^{-2t}. $$