Funtor esférico de torsión y desplazamiento

Question

Respuestas a las preguntas de esta página ( Equivalencia de torsión esférica ) incluyen:

$$\mathcal{E}[1] \boxtimes (\mathcal{E}[1])^\vee \cong \mathcal{E}[1] \boxtimes \mathcal{E}^\vee[-1] \cong \mathcal{E} \boxtimes \mathcal{E}^\vee.$$

¿Cuál es la razón de $(\mathcal{E}[1])^\vee \simeq \mathcal{E}^\vee[-1]$ ¿Aquí? Además, ¿utilizan el supuesto de la esfericidad?

En el argumento, $\mathcal{E}$ es un objeto esférico en $D^b(X)$ categoría derivada acotada formada por láminas coherentes sobre una variedad proyectiva lisa X, es decir, (i) $\mathcal{E} \otimes \omega_X \simeq \mathcal{E}$ (ii) $\operatorname{Hom}(\mathcal{E}, \mathcal{E}[i]) = k$ (si $i = 0$ o $\operatorname{dim} X$ ), $\operatorname{Hom}(\mathcal{E}, \mathcal{E}[i]) = 0$ (por lo demás).

Gracias, señor.

EDITAR : Entiendo así $$(\mathcal{E}[1])^\vee = R\mathcal{H}om(\mathcal{E}[1], \mathcal{O}_X), $$ $$\mathcal{E}^\vee[-1] = (R\mathcal{H}om(\mathcal{E}, \mathcal{O}_X))[-1]. $$ Honestamente, no tengo la intuición correcta sobre la función: "Aplicar un desplazamiento". Te agradecería que me dijeras cómo lo entiendes tú.

Answer 1

$\newcommand{\rhomm}{R \mathrm{Hom}} \newcommand{\rhom}{R \mathcal{H} om} \newcommand{\Homm}{\mathrm{Hom}} \newcommand{\Hom}{\mathcal{H} om}$ Voy a utilizar la notación de este Proyecto Stacks artículo, más este uno. Nótese que en el proyecto Stacks, los argumentos del hom derivado no son complejos, sino que lo definen como $\Homm^\bullet$ que sí toma complejos como argumentos, así que no creo que importe que ponga complejos como argumentos del hom derivado. Según la discusión en la p. 76 del libro de Huybrechts, creo que también está bien que cambie $R\mathrm{Hom}$ en el artículo Stacks a $\rhom$ y $\Homm$ a $\Hom$ .

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Escriba a $\rhom_{D(R)}(L^\bullet, M^\bullet) = \Hom^\bullet(L^\bullet, M^\bullet)$ . A su vez, $\Hom^\bullet(L^\bullet, M^\bullet)$ viene dado por $$ \Hom^n(L^\bullet, M^\bullet) = \prod_{n=p+q} \Hom_R(L^{-q}, M^p). $$ Entonces $\rhom_{D(R)}(L^\bullet[1], M^\bullet) = \Hom^\bullet(L^\bullet[1], M^\bullet) $ que viene dado por $$ \Hom^n(L^\bullet[1], M^\bullet) = \prod_{n=p+q} \Hom_R(L^{-q+1}, M^p). $$ Por otro lado, $\rhom_{D(R)}(L^\bullet, M^\bullet)[-1] = \Hom^\bullet(L^\bullet, M^\bullet)[-1] $ que viene dado por \begin{align} \Hom^n(L^\bullet, M^\bullet)[-1] &= \prod_{n-1=p+q} \Hom_R(L^{-q}, M^p) \\ &= \prod_{n=p+q+1} \Hom_R(L^{-q}, M^p) \\ &= \prod_{n=p+\tilde{q}} \Hom_R(L^{-q}, M^p) \\ &= \prod_{n=p+\tilde{q}} \Hom_R(L^{-\tilde{q}+1}, M^p) \end{align} donde hemos utilizado $\tilde{q} = q+1$ Así que $\rhom_{D(R)}(L^\bullet[1], M^\bullet) \cong \rhom_{D(R)}(L^\bullet, M^\bullet)[-1] $ . Su caso $\mathcal{E}[1]^\vee \cong \mathcal{E}^\vee [-1]$ es un caso especial.