Convergencia del método de los elementos finitos: contraejemplos

Question

Existen muchos resultados conocidos que demuestran la convergencia del método de los elementos finitos para problemas elípticos bajo ciertas suposiciones sobre la malla subyacente [por ejemplo, Braess,2007]. ¿Cuáles de estos supuestos comunes son realmente necesarios? ¿Puede alguien recomendar alguna referencia exacta a un ejemplo de una secuencia de triangulaciones en la que las soluciones de elementos finitos NO convergen a la solución real?

Veamos un problema modelo de especial interés. Sea $\Omega$ sea un polígono convexo en el plano y $f:R^2\to R$ ser un $C^2$ -función. Sea $u:\Omega\to R$ ser un $C^2$ -tal que $\Delta u=f$ en $\Omega$ , $u=0$ sur $\partial\Omega$ . Sea $T_h$ sea una secuencia de triangulaciones de $\Omega$ tal que la longitud máxima de arista de $T_h$ se aproxima a cero. Sea $u_h:\Omega\to R$ sea una función continua lineal a trozos sobre $T_h$ tal que $u_h=0$ sur $\partial\Omega$ y para cualquier función continua lineal a trozos $v:\Omega\to R$ en $T_h$ tenemos $\int_\Omega \nabla u_h\nabla v dA=\int_\Omega fv dA$ . Supongamos que existe una constante $\mathrm{const}>0$ (no depende de $h$ ) tal que:

(1) la relación entre dos aristas cualesquiera de $T_h$ es mayor que $\mathrm{const}$ ;

(2) los ángulos de cualquier triángulo de $T_h$ es mayor que $\mathrm{const}$ .

Entonces $\max_{\Omega}|u_h-u|\to 0$ como $h\to 0$ . [Ciarlet, Teorema 3.3.7]

¿Cuál de los supuestos (1) y (2) no puede descartarse en este caso? ¿Cuáles son los contraejemplos? Me interesa sobre todo la uniformidad ( $L_\infty$ ) convergencia de valores en los vértices pero también agradecería contraejemplos para otras normas.

[Braess] D. Braess, Elementos finitos. Theory, fast solvers, and applications in elasticity theory, trad. por L.L. Schumaker, Cambridge Univ. Press, 2007.

[Ciarlet] P.G. Ciarlet, The finite element method for elliptic problems, North-Holland, Amsterdam, 1978, 530 p.

Answer 1

Las condiciones de ángulo máximo y mínimo de las mallas son necesarias para demostrar diversos límites del error de interpolación. En otras palabras, la solución de la EDP es una preocupación secundaria; lo que falla es que no se puede controlar el error de interpolación.

De las dos, la condición de ángulo mínimo es menos restrictiva. Lo que se puede observar es que se deteriora el condicionamiento del sistema lineal para resolver los coeficientes desconocidos del aproximante a medida que se viola la condición de ángulo mínimo.

Hay un famoso artículo de Babuska y Aziz en SIAM J. Numerical Analysis v. 13, no. 2 de 1976, Sobre la condición angular en el método de los elementos finitos . Esto también tiene un bonito contraejemplo que muestra por qué el error de interpolación no puede ser acotado a menos que el ángulo máximo esté acotado lejos de $\pi$ .

Consulte Sobre las condiciones angulares en el método de elementos finitos para consultar y debatir estas ideas.

Answer 2

Puede que esto no sea lo que buscas, pero en el documento de 1996, "Algoritmos de refinamiento anisotrópico para elementos finitos" de Goodman, Samuelsson y Szepessy ( .ps enlace ), ellos muestran un ejemplo de función $u(x,y)=\frac{1}{2} y^2$ independientemente de $x$ , que resuelve $\Delta u = 1$ en $\mathbb{R}^2$ . Pero con la triangulación que se muestra a continuación, con $\delta \ll \epsilon$ como $\delta \rightarrow 0$ , la ecuación de elementos finitos se aproxima a $\Delta u = 0$ en lugar de $\Delta u = 1$ .
     

Answer 3

Un ejemplo relacionado aunque no precisamente el modelo de pregunta que sugieres, es el caso en que hay una excelente convergencia, pero no a una solución física.

Se da en algunas de las diapositivas de Douglas Arnold página 8 y procede de Boffi Brezzi y Gastaldi . El ejemplo es una malla entrecruzada en un cuadrado de tamaño $\pi$ donde se calculan los valores propios del operador de Maxwell.

Es elemental resolverlo a mano, y encontrar que son la suma de cuadrados de enteros: 1,1,2,3,4,4,5,5,8,etc.. ¡La solución de elementos finitos (P1 por ejemplo) converge muy suavemente, y encontrar que el noveno valor propio es 6, con muy alta precisión!

En este caso, se cumplen las condiciones inf-sup y de elipticidad, y la malla es estándar.

Esto es peor que la no convergencia en la práctica: las pruebas numéricas en este caso son muy engañosas.

Answer 4

Lo que sigue no es estrictamente un contraejemplo de convergencia, sino más bien un contraejemplo de convergencia en general.

Consideremos cualquier triangulación del dominio de la rendija $U$ donde el dominio de la rendija es $U := (-1,1)^2 \setminus [0,1) \times \{0\}$ .

El problema de Poisson con condiciones de contorno de Dirichlet sobre ese dominio está bien planteado. Si se tiene un lado derecho $f \in L^2(U)$ entonces la solución $u$ satisface la regularidad $u \in W^{3/2}(U)$ donde $W^{3/2}(U)$ es el espacio de Sobolev-Slobodeckij de orden $3/2$ .

Si la malla se refina de manera uniforme, entonces las aproximaciones de elementos finitos convergen en la norma de energía con la tasa $1/2$ (todos los índices de convergencia en el tamaño de la malla), que es lo más óptimo que se puede conseguir con un gradiente $\nabla u \in W^{1/2}(U)$ . Pero la convergencia en el $L^2$ norma sólo disfruta de la tasa $1$ aunque la mejor aproximación en el espacio de elementos finitos converge con orden $3/2$ .

Así que la convergencia es subóptima siempre que haya esquinas reentrantes, y tanto peor cuanto más aguda sea la esquina reentrante. Este fue uno de los motivos de la investigación puramente analítica sobre la regularidad en dominios poliédricos.