En cierto sentido, fue el hecho de que un diagrama no conmutara lo que dio lugar a los espectros simétricos, los módulos S y otras teorías modernas de los espectros. Dado que estos conceptos subyacen en gran parte de la teoría moderna de la homotopía estable, todo el mundo conoce alguna versión de esta historia. La categoría de espectros (no de álgebras simétricas o S) se remonta al artículo de Lima de 1959 La dualidad Spanier-Whitehead en nuevas categorías de homotopía y es una construcción natural si quieres hacer teoría de homotopía estable. Invirtiendo las equivalencias de homotopía estable obtenemos la categoría de homotopía estable.
El "fracaso" que prometí más arriba es el fracaso de esta categoría de espectros para tener una estructura monoidal simétrica. Tal estructura se deseaba como una manera de hacer más álgebra en este entorno (sin ella no tienes ninguna esperanza de objetos de anillo o módulos sobre ellos). El diagrama que mencioné que no conmutaba era el diagrama derivado del producto smash en espacios, que el traslado a espectros no preservaba. Durante unos 40 años se pensó que no se podía tener una categoría monoidal simétrica sobre espectros. Véase, por ejemplo, el artículo de Lewis de 1991 ¿Existe una categoría conveniente de espectros? lo que demuestra que no se pueden tener todas las propiedades deseadas en una categoría de este tipo y que además sea simétrica monoidal. Afortunadamente, se pueden obtener suficientes propiedades y que sea simétrica monoidal. Esto fue demostrado al mismo tiempo por dos equipos diferentes de matemáticos:
- Elmendorf, Kriz, Mandell y May crearon la categoría de $S$ -módulos
- Hovey, Shipley y Smith crearon la categoría de espectros simétricos
Ambas son categorías monoidales simétricas de espectros, tienen (diferentes) propiedades homotópicas deseables, y ambas dan la categoría homotópica estable cuando se invierten las equivalencias débiles. Resulta que ambos enfoques son equivalentes en un sentido aún más fuerte que éste, como puede verse, por ejemplo, en la obra de Schwede Módulos S y espectros simétricos.
[Descargo de responsabilidad] Esta respuesta cuenta una historia, pero puede que le falten detalles importantes o que tenga cosas ligeramente equivocadas. Esto se debe a que, como estudiante de posgrado que soy, no estaba haciendo matemáticas en el momento de estos acontecimientos. Así que me alegro de que esta respuesta sea CW para que alguien con más conocimientos pueda venir y editarla si me he equivocado.
Creo que también hay una forma de encajar las operadas en esta historia, ya que cada vez que pienso en operadas pienso en $A_\infty$ y $E_\infty$ objetos anulares, que son aquellos en los que un diagrama estructural clave (asociatividad y conmutatividad, respectivamente) no conmuta en la nariz, pero sí conmuta hasta la homotopía. Sin embargo, el diagrama de coherencia no conmuta hasta homotopía, pero sí hasta homotopía de homotopías. Y para su diagrama de coherencia se necesitan homotopías de homotopías de homotopías, etc. Me parece que esto surge de un objetivo similar al anterior, a saber, hacer álgebra en teoría de homotopía estable. Antes el problema era la falta de un producto, pero ahora el problema es que el producto no sigue las reglas (pero lo hace hasta la homotopía infinitamente coherente).
