Fracasos que acaban conduciendo a nuevas matemáticas

Question

Posible duplicado:
¿El error matemático más interesante?

En los 25 siglos de historia de las Matemáticas, ha habido momentos históricos en los que un matemático famoso ha afirmado haber demostrado un enunciado fundamental, luego la demostración ha resultado ser falsa o incompleta y, finalmente, el enunciado se ha convertido en un bonito problema que ha desempeñado un papel importante en el desarrollo de las Matemáticas. Se me ocurren dos ejemplos inmediatos:

• de Fermat último teorema ,

• la existencia de un minimizador de la integral de Dirichlet en cálculo de variaciones, lo que llevó a Weierstrass a introducir la noción de compacidad.

Esto debe haber ocurrido en casi todas las ramas de las Matemáticas.

¿Cuáles son los mejores ejemplos de esta evolución? ¿Cómo influyeron en nuestra vida matemática?

Answer 1

Lebesgue afirmaba que la proyección de un subconjunto de Borel del plano es un conjunto de Borel en sí mismo, una afirmación errónea que llevó al entonces joven de 23 años Mikhail Souslin a la definición de conjunto analítico (es decir, conjuntos que son proyecciones de conjuntos cerrados). Antes de su prematura muerte en 1919, a la edad de 25 años, fue capaz de demostrar que un conjunto $A$ es Borel si $A$ y su complemento son ambos analíticos, un descubrimiento que inició el campo de la teoría descriptiva de conjuntos.

Answer 2

Un buen ejemplo de un error que causó un gran revés a su campo cuando se descubrió, y provocó un gran repunte cuando finalmente se solucionó, fue el lema de Dehn en topología de 3-manifoldes.

Dehn utilizó el lema en 1910, creyendo que lo había demostrado, y por un mucho tiempo se pensó que había establecido una conexión sencilla entre los nudos y el grupo fundamental.

En 1929, Helmuth Kneser descubrió un error en la prueba de Dehn, que de Dehn, lo que arruinó su plan de escribir un libro sobre 3 lema de Dehn, y probablemente le hizo cambiar de campo para varias variables variables complejas.

El campo de los 3-manifolds no volvió a ser muy activo hasta Papakyriakopoulos demostró finalmente el lema de Dehn en 1957.

Answer 3

A principios de los años 60, Smale publicó un artículo que contenía una conjetura cuya consecuencia era que (en lenguaje moderno) "el caos no existía". Poco después recibió una carta de Norman Levinson en la que le informaba de un trabajo anterior de Cartwright y Littlewood que contenía un contraejemplo a la conjetura de Smale. Smale "trabajó día y noche para resolver los desafíos que la carta planteaba a mis creencias" (en sus propias palabras), tratando de traducir los argumentos analíticos de Levinson y Cartwright-Littlewood a su propia forma geométrica de pensar. Esto le llevó a su descubrimiento seminal de la mapa de herradura , seguido de la fundación del campo de los sistemas dinámicos hiperbólicos. Para más detalles, véase el popular artículo de Smale "Finding a horseshoe on the beaches of Rio", Mathematical Intelligencer 20 (1998), 39-44.

Answer 4

Dulac afirmó en 1923 haber probado

Cualquier ecuación diferencial plana real $$\frac{dx}{dt} = Q(x,y) \qquad \frac{dy}{dt} = P(x,y) $$ donde $P,Q$ son polinomios con coeficientes reales, tiene un número finito de limitar ciclos .

Los ciclos límite son los objetos principales de la segunda parte del Problema de Hilbert 16

Su prueba resultó tener un gran agujero. ref Hubo que esperar hasta la década de 1980 y el trabajo (independiente) de Écalle sobre el resumen y la transformación de Borel-Laplace, y los trabajos de Ilyashenko sobre la continuación analítica en el plano complejo del primer mapa de retorno real de Poincaré asociado a los policiclos. Ambas líneas de trabajo son logros fenomenales, y dieron sus frutos durante bastante tiempo (quizá aún los den, pero dejé de seguir este campo hace algunos años).

Answer 5

Un momento importante para la teoría del caos y los sistemas dinámicos fue el descubrimiento por Phragmén de que había un problema con la convergencia de una serie en la presentación original de Poincaré a un concurso organizado como parte de la celebración del 60 aniversario del nacimiento de Óscar II, Rey de Suecia y Noruega. El trabajo reescrito es seminal. June Barrow-Green cuenta muy bien la historia en Poincaré y el problema de los tres cuerpos (1997).