Incrustaciones compactas de espacios de Sobolev: un contraejemplo que demuestra que el teorema de Rellich-Kondrachov es agudo

Question

Sea $U$ sea un subconjunto abierto y acotado de $\mathbb{R}^n$ con $C^{1}$ límite. Sea $1 \leq p < n$ y $p^{\ast} = pn/(n-p)$ . Entonces el espacio de Sobolev $W^{1,p}(U)$ está contenido $L^{p^{\ast}}(U)$ y existe una constante $C$ dependiendo únicamente de $p$ , $n$ y $U$ tal que $$ \|u\|_{L^{p^{*}}(U)} \leq C \|u\|_{W^{1,p}(U)} $$ para cada $u \in W^{1,p}(U)$ (véase el teorema 2 de la sección 5.6.1 de Ecuaciones diferenciales parciales por Evans).

El teorema de la compacidad de Rellich-Kondrachov dice que $W^{1,p}(U)$ se incrusta de forma compacta en $L^{q}(U)$ para cada $1 \leq q < p^{*}$ . Esto significa dos cosas:

(i) Existe una constante $C$ dependiendo únicamente de $p$ , $n$ y $U$ tal que $$ \displaystyle{ \|u\|_{L^q(U)} \leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)} } $$ para cada $u \in W^{1,p}(U)$ .

(ii) Toda sucesión acotada $(u_k)$ sur $W^{1,p}(U)$ tiene una subsecuencia $(u_{k_j})$ que converge en $L^q(U)$ .

¿Existe un contraejemplo estándar que demuestre que no podemos tomar $q=p^{\ast}$ en el Teorema de la compacidad de Rellich-Kondrachov? En otras palabras, estoy pidiendo una secuencia $(u_k)$ que está delimitada en el $W^{1,p}(U)$ pero no tiene subsecuencia convergente en ${L^{p^{\ast}}(U)}$ . Obsérvese que tal secuencia tendría una subsecuencia que converge en $L^q(U)$ para cada $1 \leq q < p^{\ast}$ pero diverge en ${L^{p^{*}}(U)}$ .

Gracias.

Answer 1

Sí, hay una forma estándar. Tome cualquier $u\in W^{1,p}(U)$ , con apoyo en una bola, digamos w.l.o.g $\operatorname{supp}(u)\subset B(0,r)\subset U$ y considere $$ u_\epsilon(x):= u\big(\frac{x}{\epsilon}\big)$$ Bajo esta acción por dilataciones, el $L^q$ norma de $u$ y el $L^{p}$ norma de $\nabla u$ reescalar con las mismas potencias exactamente para $q=p^*$ : $$ \|u_ \epsilon\| _ q = \epsilon^{n/q} \|u\|_ q$$ $$ \| \nabla u_ \epsilon\|_p = \epsilon^{\frac{n-p}{p}} \|\nabla u\| _ p$$ Esto significa que la familia normalizada , para todo $0 < \epsilon \le 1$ ,

$$ \epsilon ^ { - \frac {n} {p ^ *} } u \Big( \frac{x} {\epsilon} \Big) \, , \quad 0 < \epsilon \le r $$

está limitada en $W^{1,p}$ y tiene una norma constante distinta de cero en $ L^{p*} $ y, por supuesto, no tiene subsecuencias convergentes para $\epsilon \to 0$ ya que converge a.e. a cero. Obsérvese también que converge a $0 $ sur $L^q$ para todos $ q < p^*$ como tiene que ser.

Answer 2

Esta pregunta ha surgido en un trabajo mío.Cuando el $p^*$ la norma se calcula sin utilizar el valor del gradiente de la secuencia, la "condición por defecto" de Gagliardo-Nirenberg1 1-n/p + n/p* = 0 parece imponer una restricción al índice épsilon de la sucesión, ya que el índice de la sucesión desaparece. $W^{1,p}$ Esto suena ilógico,especialmente cuando el teorema de Rellich-Kondrachov hace uso tácito de tal límite en su demostración.Por otra parte,puesto que los valores de gradiente de la secuencia tienen que ser utilizados en la integración para verificar el $W^{1,p}$ y teniendo en cuenta que existe una fórmula que expresa un $C^1$ de soporte compacto en términos de su gradiente (esto por integración por partes de la solución fundamental del Laplaciano),es posible obtener estimaciones para la $p^*$ en términos de la norma L^infinita de la función de prueba definitoria u y, lo que es más, ¡tal estimación implica potencias positivas del índice épsilon de la secuencia aunque se utilice la condición por defecto de Gagliardo-Nirenberg, mostrando que la secuencia converge realmente a cero en la norma p*! Por lo tanto, el significado real es que los cálculos de la norma p*, uno sin usar el gradiente de la secuencia y el otro usando el gradiente y su valor implícito en la integración, son diferentes y si se comparan forzosamente, conducen a la contradicción de que u desaparece idénticamente. Hemos elaborado la prueba que se basa en hechos no triviales como los límites fuertes para la función máxima de Hardy-Littlewood. Hay que señalar además que la condición $q < p^*$ es sólo una condición suficiente para establecer el teorema de Rellich-Kondrachov por interpolación y no hay nada que apoye que el teorema no pueda establecerse por un procedimiento que no requiera interpolación. En resumen,el contraejemplo parece vacuo,¡mostrando que la compacidad en p* puede seguir siendo un problema abierto!