¿Aplicaciones interesantes del teorema clásico de Stokes?

Question

Cuando los estudiantes aprenden cálculo multivariable, se les suele bombardear con una colección de ejemplos del tipo "dada una superficie X con una curva límite Y, evalúe la integral de línea de un campo vectorial Y evaluando la integral de superficie del rizo del campo vectorial sobre la superficie X" o viceversa. El problema es que los campos vectoriales, las curvas y las superficies son bastante arbitrarios, salvo que se eligen de forma que una o ambas integrales sean computacionalmente manejables.

Otra aplicación interesante del teorema clásico de Stokes es que permite interpretar el rizo de un campo vectorial como una medida del giro alrededor de un eje. Pero aparte de eso no soy capaz de recordar ninguna otra aplicación que sea especialmente sorprendente, profunda o interesante.

Me gustaría utilizar el teorema de Stokes mostrar a mis estudiantes de cálculo multivariable algo que disfrutan. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Un estudiante también puede aprender sobre el contenido del teorema de Stokes a partir de casos en los que fallido se mantenga como se esperaba. Por ejemplo, hay que tener cuidado al intentar utilizar el teorema en dominios con agujeros. Dale la vuelta: el fracaso de Stokes para sostener como se esperaba te habla de la cohomología del dominio. Creo que es posible, mediante ejemplos concretos, ilustrar este punto en una clase de cálculo multivariante sin utilizar la fraseología más técnica.

Un debate similar tuvo lugar en Usos prácticos de la cohomología de Rham para convencer a un amplio público de su utilidad

Para una aplicación no estándar del fracaso del teorema de Stokes, está el caso impar del Nadador Purcell: http://iopscience.iop.org/1367-2630/10/6/063016/fulltext/ Hacer que esto sea accesible para una clase de cálculo multivariable puede requerir algo de trabajo, dependiendo de sus alumnos.

Answer 2

Una buena aplicación en mecánica de fluidos es Teorema de la circulación de Kelvin . También se podría discutir cómo no se cumple si hay obstáculos en el flujo del fluido. En el mismo espíritu se aplica el teorema de Stokes en el formalismo canónico de la mecánica clásica para encontrar las invariantes integrales poincare-cartan.

Answer 3

Me parece interesante que el teorema de la divergencia (que es un corolario del teorema general de Stokes sobre variedades diferenciables) en forma vectorial (una integral para cualquier coordenada catesiana) dé una prueba del principio de flotabilidad de Arquímedes sobre el fluido .

dado un cuerpo inmerso en un fluido (incompresible) dejemos que $S$ su superficie y para cada punto $p\in S$ deje $\overrightarrow{n}:=(n_x(p), n_y(p), n_z(p))$ el versor normal a $S$ en $p$ . entonces la fuerza total sobre el cuerpo es la integral (vectorial) $\int_S\mu\cdot (L-z(p))\cdot -\overrightarrow{n}\cdot dS=$

$-(\int_S\mu\cdot (l-z(p))\cdot n_x(p) \cdot dS, \int_S\mu\cdot (l-z(p))\cdot n_x(p) \cdot dS, \int_S\mu\cdot (l-z(p))\cdot n_z(p) \cdot dS) =$

$-\mu\cdot(\int_S\ (l-z(p))\cdot \overrightarrow{i} \circ \overrightarrow{n}\circ dS, \int_S (l-z(p))\cdot \overrightarrow{j} \circ \overrightarrow{n}\circ dS, \int_S (l-z(p))\cdot \overrightarrow{k} \circ \overrightarrow{n}\circ dS) $

(donde $l$ es el nivel del fluido, y $\mu$ su densidad, $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}$ los versores cartesianos habituales).

entonces a partir del teorema de la divergencia (en cada una de las tres componentes) y de $\nabla\circ((l-z)\overrightarrow{i})=\partial/\partial x (l-z)=0,\ \nabla\circ((l-z)\overrightarrow{j})=\partial/\partial y (l-z)=0$ $\nabla\circ((l-z)\overrightarrow{k})=\partial/\partial z (l-z)=-1$

sigue eso: $\int_S\mu\cdot (L-z(p))\cdot -\overrightarrow{n}\cdot dS= \mu\cdot \int_VdV\cdot \overrightarrow{k} =\mu |V|\cdot \overrightarrow{k} $ (donde $V$ en el espacio de volumen (interno) delimitado por $S$ y $|V|$ su medida.