¿Aplicaciones interesantes del teorema clásico de Stokes?

Question

Cuando los estudiantes aprenden cálculo multivariable, se les suele bombardear con una colección de ejemplos del tipo "dada una superficie X con una curva límite Y, evalúe la integral de línea de un campo vectorial Y evaluando la integral de superficie del rizo del campo vectorial sobre la superficie X" o viceversa. El problema es que los campos vectoriales, las curvas y las superficies son bastante arbitrarios, salvo que se eligen de forma que una o ambas integrales sean computacionalmente manejables.

Otra aplicación interesante del teorema clásico de Stokes es que permite interpretar el rizo de un campo vectorial como una medida del giro alrededor de un eje. Pero aparte de eso no soy capaz de recordar ninguna otra aplicación que sea especialmente sorprendente, profunda o interesante.

Me gustaría utilizar el teorema de Stokes mostrar a mis estudiantes de cálculo multivariable algo que disfrutan. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Si no te importa especializar el teorema de Stokes al teorema de Green, una de las aplicaciones más prácticas es el cálculo del área de una región mediante la integración alrededor de su contorno. Soy lo suficientemente mayor como para haber utilizado un planímetro una deliciosa encarnación física del teorema de Green:
                
También se puede derivar una fórmula (por otra parte no obvia) para el área de un polígono plano mediante el teorema de Green: $A = \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1} x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i$ .

Lo siento, en estos ejemplos no hay campos vectoriales en espiral.

Answer 2

Se podría argumentar que la teoría de las funciones complejas (el hecho de que las funciones analíticas se integren en cero alrededor de los contornos) es una aplicación, y una buena aplicación.

Answer 3

En la teoría del electromagnetismo, el Teorema de Stokes clásico se mueve entre las formas diferencial e integral de dos de las cuatro ecuaciones de Maxwell; véase https://en.wikipedia.org/wiki/Stokes%27_theorem#In_electromagnetism para debatir. Obsérvese que las formas integrales pueden interpretarse directamente utilizando la intuición física clásica, mientras que las formas diferenciales nos dan ecuaciones diferenciales que podríamos resolver, por lo que es importante que podamos pasar de una a otra.

ETA: Creo que la discusión de Wikipedia es un poco vaga, aunque posiblemente apropiada en ese contexto. Aquí tienes más detalles sobre la Ley de Faraday. En términos de cantidades físicamente observables, la ley establece que la tasa de cambio del flujo magnético a través de una superficie estacionaria es proporcional a la fuerza electromotriz alrededor del límite de la superficie. El flujo magnético es la integral de superficie del campo magnético $ \vec H $ y el CEM es la integral lineal del campo eléctrico $ \vec E $ por lo que tenemos $$ \oint _ { \partial S } \vec E \cdot \mathrm d \vec r = - \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } \iint _ S \vec H \cdot \mathrm d ^ 2 \vec A $$ utilizando unidades y convenciones de signos estándar. Aplicando el clásico Teorema de Stokes a la izquierda y utilizando que $ S $ es estacionario a la derecha, se convierte en $$ \iint _ S ( \nabla \times \vec E ) \cdot \mathrm d ^ 2 \vec A = - \iint _ S \frac { \partial \vec H } { \partial t } \cdot \mathrm d ^ 2 \vec A \text ; $$ como esto se cumple para superficies arbitrariamente pequeñas, concluimos que $$ \nabla \times \vec E = - \frac { \partial \vec H } { \partial t } \text , $$ una ecuación diferencial. (El argumento a la inversa es aún más fácil, ya que no hay que preocuparse por superficies arbitrariamente pequeñas).

Answer 4

En demostración del teorema del punto fijo de Brower usar el teorema de Stokes es una buena aplicación, creo.

Answer 5

Puede decir a sus alumnos que un uso inteligente del teorema de Stokes puede darle una medalla Fields. De hecho, la prueba de que el mapa de formalidad dado por M. Kontsevich es un $L_\infty$ -morfismo, no es otra cosa que el teorema de Stokes. Se puede encontrar una explicación detallada en Deformation quantization of Poisson manifolds. Lett. Math. Phys. 66 (2003), no. 3, 157–216 o con más detalles en Déformation, quantification, théorie de Lie, 123–164, Panor. Synthèses, 20, Soc. Math. France, Paris, 2005 que está en inglés, contrariamente a su título.