Una confusión habitual aquí. Cuando el corolario dice que "se puede corregir $⌊\frac{d-1}{2}⌋$ errores", en realidad está diciendo que puede garantizar que será capaz de corregir todos los errores con ese peso como máximo. Pero eso no significa que no puedas corregir otros errores.
Para empezar con su segunda pregunta:
Si $d=3$ , $t=1$ ¿Sólo puedo corregir errores con peso 1?
En ese caso puedes garantizar que corregirás todos los errores con peso 1. Pero quizás también corrijas con éxito algunos errores con peso 2 (y quizás incluso más). Sabe que no podrá corregir todos errores con peso 2 o superior.
Más en detalle, podrás corregir algunos errores con peso 2 si tu tabla de síndrome tiene algún líder coset con ese peso. En el caso clásico del $(7,4)$ código Hamming, cada coset líder cubre uno de los $1-$ errores de peso, por lo tanto aquí no se puede corregir ningún error con peso 2 o más.
si $d=2$ y $t=0$ ¿No encuentro la palabra clave transmitida?
No se puede garantizar que se encuentre la palabra clave correcta, aunque se produzca un solo error. Pero, de nuevo, podrías corregir alguno. Si lo piensas, $d=2$ corresponde a un único bit de paridad añadido. La mitad de los $2^n$ tuplas corresponden a palabras clave, la otra mitad no (como las casillas blancas y negras de un tablero de ajedrez, si te gusta la analogía, pero ten en cuenta que las tuplas viven realmente en los vértices de un hipercubo). Entonces, un solo error te lleva a una tupla inválida (no codeword), que tiene varios codewords válidos a distancia uno. Debería ser obvio que en este caso sabes que hubo un error (puedes detectar el error), pero no se puede corregir con certeza. Si insistes en intentar corregirlo, utilizando probablemente la descodificación del síndrome, tendrás que elegir un coset líder entre varios patrones de error igualmente probables. A veces tendrás suerte.
