Recordemos que un divisor cero topológico izquierdo en un álgebra de Banach $A$ es un elemento $a\in A$ tal que existe una secuencia de vectores unitarios $(a_{n})$ en $A$ con $\lim_{n\rightarrow\infty}aa_{n}=0$ . Sea $u\in B(H)$ para un espacio de Hilbert $H$ .
Quiero demostrar que $u$ es un divisor topológico cero a la izquierda en $B(H)$ sólo si $u$ no está acotada por debajo. He conseguido demostrar $\Rightarrow$ pero estoy teniendo algunos problemas con $\Leftarrow$ porque suponiendo que $u$ no está acotada por debajo, puedo obtener una secuencia $(x_{n})$ en $H$ tal que $u(x_{n})\rightarrow 0$ pero en la definición de divisor cero topológico izquierdo, necesito una secuencia de operadores en $B(H)$ .
Actualización: La parte de arriba se ha resuelto con la ayuda del comentario de abajo de Prahlad Vaidyanathan.
El espectro puntual aproximado $\sigma_{ap}(u)$ se define como $\{\lambda\in\mathbb{C}:u-\lambda\;\text{is not bounded below}\}$ . Sé que $\partial\sigma(u)\subset\sigma_{ap}(u)\subset\sigma(u)$ . También tengo que $u$ está acotada por debajo si y sólo si $u$ es invertible a la izquierda en $B(H)$ . Quiero demostrar que si $u$ es normal, entonces $\sigma_{ap}(u)=\sigma(u)$ .
