Sea $X$ sea un espacio de Banach y $T:X\to X$ un operador lineal continuo. Supongamos que para todo $x\in X$ hay un $n\in\mathbb{N}$ tal que $T^nx=0$ . Entonces hay un $N\in\mathbb{N}$ tal que $T^N=0$ .
Mi prueba:
Suponiendo que $X=\cup_{n\in\mathbb{N}}\ker(T^n)$ . Desde $T$ y por lo tanto $T^n$ son continuas, $\ker(T^n)=(T^n)^{-1}(\{0\})$ está cerrado. Por lo tanto, por el teorema de la categoría de Baire, existe un $N\in\mathbb{N}$ tal que $\ker(T^N)$ tiene un interior no vacío. En particular, contiene una bola abierta $B(x_N, \epsilon)$ y por tanto una bola cerrada $\overline{B}(x_N, \epsilon)$ . Ahora dejemos que $x\in X, x\ne 0$ y sin pérdida de generalidad $||x||=1$ (si no, considere $x/||x||$ ). Entonces $x_N+\epsilon x\in \overline{B}(x_N, \epsilon)\subset\ker(T^N)$ y por lo tanto $T^N(x_N)+\epsilon T^N(x)=T^N(x_N + \epsilon x) = 0$ lo que implica $T^Nx=0$ de lo que se deduce la afirmación.
Es la primera vez que trabajo con la BCT, por lo que agradecería cualquier comentario.
