Utilizando la ecuación $ A^{-1} + B^{-1} = (A+B)^{-1} $ para encontrar relaciones entre det(A) y det(B)

Question

Se nos impone una condición,

$$ A^{-1} + B^{-1} = (A+B)^{-1} $$

Además, $|A| =4$ y se nos pide que encontremos el valor de |B|.

He intentado simplificar el LHS $$ A^{-1} + B^{-1}= B^{-1}BA^{-1} + B^{-1}AA^{-1} $$ $$ A^{-1} + B^{-1}= B^{-1}(A+B)A^{-1} $$

Eso sólo me llevó a conseguir

$$ |A+B|^2=|A||B| $$

Estoy atascado después de esto. Agradecería cualquier ayuda. Thank you.

Answer 1

Si $A,B$ tienen tamaños $n$ con $n > 2$ entonces es imposible determinar $|B|$ .

Si $A,B$ tienen entradas reales y $n$ es impar, entonces es imposible que $A,B$ para satisfacer la condición dada.

Si $n = 2$ y $A,B$ tienen entradas reales, entonces $|B| = |A|$ debe aguantar.

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Podemos escribir $$ A^{-1} + B^{-1} = (A + B)^{-1} \iff\\ A(A^{-1} + B^{-1}) = A(A + B)^{-1} \iff\\ AA^{-1} + AB^{-1} = ((A + B)A^{-1})^{-1} \iff\\ I + AB^{-1} = (I + BA^{-1})^{-1}. $$ Escribir $M = BA^{-1}$ (o equivalentemente $B = MA$ ) nos permite reescribirlo como $$ I + M^{-1} = (I + M)^{-1} \iff\\ (I + M)(I + M^{-1}) = I \iff\\ M + 2I + M^{-1} = I \iff\\ M + I + M^{-1} = 0 \iff\\ M^2 + M + I = 0. $$ En otras palabras: matrices invertibles $A,B$ satisfará la ecuación dada si y sólo si $B = MA$ para alguna matriz (invertible) $M$ con $M^2 + M + I = 0$ . $M$ satisfará esta ecuación si y sólo si es diagonalizable y sus valores propios satisfacen $\lambda^2 + \lambda + 1 = 0$ . En otras palabras, $M$ satisfará la ecuación si todos sus valores propios son iguales a cualquiera de las dos posibilidades $\lambda = -\frac 12 \pm i\frac{\sqrt{3}}2$ .

Para un $2 \times 2$ matriz real, esto implica que $|M| = 1$ de modo que $|B| = |MA| = |A|\cdot |M| = |A|$ .

Answer 2

En $(A+B)(A^{-1}+B^{-1})=I$ obtienes $$ I+AB^{-1}+BA^{-1}+I=I \tag{1} $$ y por lo tanto $$ I+AB^{-1}+BA^{-1}=0 \tag{2} $$ Multiplique $(2)$ a la derecha por $A$ : $$ A+AB^{-1}A+B=0 \tag{3} $$ Multiplique $(2)$ a la derecha por $B$ : $$ B+A+BA^{-1}B=0 \tag{4} $$ Por lo tanto, comparar $(3)$ y $(4)$ , $$ AB^{-1}A=BA^{-1}B\tag{5} $$ Si $a=\det A$ y $b=\det B$ obtenemos de $(5)$ utilizando el teorema de Binet, $$ a^2b^{-1}=a^{-1}b^2 \tag{6} $$ Por lo tanto $b^3=a^3$ y, suponiendo matrices con coeficientes reales, $b=a$ .

Notas.

1. Esta respuesta no toca el problema de la existencia de las matrices dadas. Otras respuestas dan condiciones sobre esto.

2. Si se permite que las matrices tengan entradas complejas, la única conclusión posible es que $b/a$ es una raíz cúbica de la unidad.

Answer 3

Hola y bienvenido a MSE.

Su condición no es suficiente para determinar un valor exacto de $\det(B)$ . Para ello, tomemos el espacio vectorial $\mathbb C$ . Una aplicación lineal $T_c:\mathbb C \rightarrow \mathbb C$ no es más que una multiplicación para un elemento $c$ de $\mathbb C$ y el determinante es exactamente $c$ . Por lo tanto, la matriz que representa $T_c$ es sólo el $1\times 1$ matriz $(c)$ .

Tomemos ahora la aplicación lineal $A=T_4$ (es decir, una aplicación con determinante igual a $4$ ). Sea $B=T_b$ ; gracias a su condición tenemos: \begin{gather} A^{-1}+B^{-1} = (A+B)^{-1}\\ T_4^{-1}+T_b^{-1} = (T_4+T_b)^{-1}\\ \end{gather}

Utilizando ahora el hecho de que $T_c^{-1}=T_{\frac{1}{c}}$ y $T_c + T_d = T_{c+d}$ obtenemos la siguiente ecuación: \begin{equation} \frac{1}{4} + \frac{1}{b} = \frac{1}{4+b} \end{equation} que tiene dos soluciones: \begin{gather} b_1 = -2 + 2i\sqrt 3\\ b_2 = -2 - 2i\sqrt 3 \end{gather} Entonces, tiene dos aplicaciones lineales $B_1=T_{b_1}$ y $B_2 = T_{b_2}$ que satisfacen la condición inicial pero tienen determinantes diferentes $\det(B_1)=b_1\neq b_2=\det (B_2)$ . Así pues, las condiciones iniciales no son suficientes para determinar un valor exacto de $\det(B)$ .