¿Cuáles son los usos prácticos de $e$?

Question

¿Cómo puede el $e$ ser utilizado para la práctica de las matemáticas? Esta es una presentación sobre (entre otros temas) $e$, dirigido a personas entre las edades de 10 y 15.

Para aclarar lo que quiero:

• No quería: $e^{i\pi}+1=0$ es genial, pero (que yo sepa) no puede ser utilizado para aplicaciones prácticas fuera del aula de clase.
• Lo que quiero hacer quiero: $e$ creo que es utilizado en los cálculos sobre el interés compuesto. Me gustaría una explicación simple de cómo se utiliza (o enlaces a explicaciones simples), y más ejemplos como este.

Answer 1

$e$ no es útil. Sólo pasa a ser el valor en $x = 1$ de la función exponencial $$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

lo cual es muy útil porque es su propia derivada. Esta propiedad fundamental nos ayuda a resolver ecuaciones diferenciales, que son un lenguaje muy poderoso para la comprensión del universo.

El aburrido ejemplo es el modelado de algo así como el crecimiento de las bacterias. (Como Raymond Manzoni del comentario dice, una más interesante el ejemplo que involucra el crecimiento exponencial es la datación por carbono.) Mucho más interesante ejemplo (para mí, de todos modos) se produce si permites $x$ a algo más general de un número real: permitir que sea complejo y se obtiene la fórmula de Euler $$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$

lo cual nos indica que la exponencial puede representar rotaciones en el plano. También nos indica que $\cos x$ $\sin x$ puede ser utilizado para describir el movimiento armónico simple, básica y fundamental ejemplo de una ecuación diferencial que describe fenómenos del mundo real (como circuitos) que sabemos cómo resolver exactamente gracias a la función exponencial.

Para ser más específicos, el actual $I(t)$ en un circuito LC satisface la ecuación diferencial

$$\frac{d^2 I}{dt^2} + \frac{1}{LC} I = 0$$

donde $L$ es la inductancia y la $C$ es la capacitancia. El complejo exponencial puede ser utilizado para deducir que las soluciones a esta ecuación diferencial aspecto

$$I(t) = A \cos \omega t + B \sin \omega t$$

donde $\omega^2 = \frac{1}{LC}$. Esta es una muy precisa descripción: la actual es periódica y podemos calcular explícitamente su período. Agregar en una resistencia y obtener una similar ecuación diferencial cuya solución puede ahora ser amortiguado, y de nuevo podemos calcular explícitamente cómo rápidamente la corriente es de amortiguamiento.

Exponenciales están también estrechamente relacionadas con la teoría de la transformada de Fourier (que también nos ayuda a resolver ecuaciones diferenciales y mucho más), la distribución normal (la que utilizamos para entender las estadísticas), la aproximación factoriales (que muchas veces tenemos que hacer en ciencias de la computación)...

Answer 2

$$\frac{1}{e}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$$

Así, aparece en una gran cantidad de juegos, por ejemplo, considerar la posibilidad de un juego con $n$ de los jugadores, donde cada jugador tiene $\frac{1}{n}$ (independiente), hay muchas posibilidades de ganar. Al $n$ de crecimiento, la probabilidad de que no hay ningún ganador es (muy rápidamente) cerca de $\frac{1}{e}$.

Se mantiene fiel, incluso para algunos casos en los que no es independiente. Jugar el juego con $n$ bolas (con números de$1$$n$, uno en cada pelota), y $n$ jugadores (cada jugador tiene un número diferente). A continuación, cada jugador roba una pelota en la bolsa (él no puede ver que la bola se dibuja, y él se mantiene). Una vez más, la oportunidad de no uno construye su propio número es cercano a $\frac{1}{e}$ (suficiente para un gran $n$, una clase de 15 niños es suficiente)...

Si, en dicho experimento, se puede hacer una redibujar hasta que no haya al menos $1$ ganador, el número medio de sorteos necesita es $e$.

Answer 3

Si los números complejos están prohibidos (la eliminación de gran parte de la diversión para la gente de aquí...) algunas aplicaciones prácticas :

• natural de decaimiento exponencial de los componentes radiactivos, el concepto de vida media (sugerente tema para los niños!). Esta es la solución de la más simple de la ecuación diferencial : $x'=-\lambda x$ dar $x=C e^{-\lambda t}$ (muchos de aplicación práctica en las ciencias Naturales en el enlace) disminución exponencial de gaz de la densidad con la altura y así sucesivamente...

• simple ecológico del sistema : modelo predador-presa , considerando un sistema de dos junto lineal O. D. E del sistema ($x$ es el número de depredadores y $y$ el número de presas) :
  $x'=(b-py)x$
  $y'=(rx-d)y$
  (bueno, las soluciones pueden tener $\ln$ o más complicado (caótico) de las cosas, pero...)

• el uso de la escala logarítmica para explicar las exponenciales de crecimiento :

  • sismología : una graduación más alta significa que x veces más energía
  • decibelios : nivel de sonido

• explicando órdenes de magnitud $e^{\ln(10)x}=10^x$ hasta la escala del universo (hay un bonito vídeo en internet con poderes de $10$)

Answer 4

Una población se duplica cada 18 años. Ahora es $1$ millones de euros. ¿Cuál es su tasa de crecimiento en el instante presente?

Otra población de $1$ millones está creciendo actualmente a $20,000$ por año. Continúa creciendo a una tasa proporcional a su tamaño. Cuánto tiempo tardará el doble?

Estos dos son sólo acerca de los más simples ejemplos de problemas en los que es importante que una determinada función exponencial es "natural".