Topos asociados a una categoría

Question

Para cada topos $\mathbb E$ deje $\mathcal O(\mathbb E)$ sea la categoría localmente presentable de objetos en $\mathbb E$ . Podemos hacer $\mathcal O$ en un functor contravariante a la categoría de categorías localmente presentables (con morfismos cocontinuos) asignando a cada morfismo geométrico $(f^\*, f_\*)$ el functor $f^\*$ . Según [Mac Lane, Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic] este functor es representable, es decir, existe un topos $\mathbb A$ llamada clasificador de objetos tal que existe una equivalencia natural $$ \mathrm{Hom}(\mathbb E, \mathbb A) \to \mathcal O(\mathbb E). $$ Ahora me pregunto si $\mathcal O$ tiene un adjunto derecho, que quiero llamar $\operatorname{Spec}$ debido a la analogía con la geometría algebraica, es decir, si existe un functor contravariante $\operatorname{Spec}$ de la categoría de categorías localmente presentables a la categoría de topoi (con morfismos geométricos) tal que existe una equivalencia natural $$ \mathrm{Hom}(\mathbb E, \operatorname{Spec}\mathcal C) \to \mathrm{Hom}(\mathcal C, \mathcal O(\mathbb E)) $$ de categorías.

(Aquí, topos se entenderá por Topos de Grothendieck .)

Answer 1

Esto se describe en el documento

Bunge y Carboni, The symmetric topos, Journal of Pure and Applied Algebra 105:233-249, 1995.

que describe el sentido en el que la construcción que usted llama Spec es análoga a la construcción del álgebra simétrica.

Bunge y Carboni dan una biadjunción entre la bicategoría R, que es lo contrario de la bicategoría de las topos de Grothendieck, y la bicategoría A de categorías localmente presentables y funtores cocontinuos (equivalentemente, adyacentes izquierdos).