No consigo obtener la fuerza horizontal en equilibrio y obtengo $$\mu_s$$ un valor negativo y mayor que 1 tambien lo cual es absurdo por favor diganme como hacer.
Tengo $$f_s = -T\sin 15$$
Utilicé el momento como 0 en la parte inferior para obtener T luego utilizando el equilibrio horizontal para obtener la fricción y luego utilizando el equilibrio vertical para obtener N y luego utilizando mu veces el concepto de reacción normal para obtener mu
Tenemos
$$ \cases{ \vec T = -T_0(\sin\beta, \cos\beta),\ \ \ \text{rope tension}\\ \vec W = m g(0,-1),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{weight}\\ \vec R = V(-\mu,1),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{soil bar tip reaction}\\ A = L(-\cos\alpha, \sin\alpha),\ \ \ \ \text{where the rope is fixed}\\ O = \ \ \ \ \text{tip rod support location} } $$
Las condiciones de equilibrio son
$$ \cases{\vec T + \vec W + \vec R = \vec 0\\ \vec T\times (A-O) + \vec W \times \frac 12 (A-O) = \vec 0 } $$
y después de resolver para $T_0,V,\mu$ obtenemos
$$ \mu = \frac{1}{2 \tan (\alpha )+\cot (\beta )}\approx 0.181 $$
Dije en un comentario que $f_s$ parecía estar bien. Pero puede que no fuera exactamente así.
Suponiendo que se sigue una convención en la que las fuerzas horizontales a la derecha son positivas y las fuerzas a la izquierda son negativas, la componente horizontal de la fuerza de la cuerda sobre la barra es $-T\sin 15^\circ.$
Para que la barra esté en equilibrio horizontal, el suelo debe ejercer una fuerza horizontal $T\sin 15^\circ$ en él. Por lo tanto, la barra ejerce una fuerza horizontal igual y opuesta sobre el suelo: $-T\sin 15^\circ.$ Ambas fuerzas son fuerzas de fricción y podrían denominarse $f_s,$ aunque supongo que probablemente querías decir $f_s$ la fuerza ejercida por el suelo en el bar. Si es así, me equivoqué; habías invertido el signo de esa fuerza.
La convención con la que estoy familiarizado es que un coeficiente de fricción $\mu$ es positivo, y que si $N$ es la fuerza normal y es positiva, entonces $\mu N$ da la magnitud (o magnitud máxima) de la fuerza de rozamiento. Tienes que utilizar otros conocimientos para averiguar la dirección en la que actúa la fuerza de rozamiento, es decir, en cualquier dirección que impida el movimiento relativo de los dos objetos o que reduzca el movimiento relativo.
Así que si te dieran un problema en el que una cierta fuerza de fricción estuviera a la izquierda, y tuvieras una fuerza normal positiva $N$ la representación con signo de la fuerza de rozamiento sería $-\mu N.$
Así que lo que debería haber escrito es simplemente $$ T\sin 15^\circ = \mu_s (mg - T\cos 15^\circ).$$
Pero eso no se puede demostrar sólo con matemáticas. Tienes que usar la física.
Utiliza el punto de contacto con el suelo como pivote para establecer el equilibrio rotacional a continuación
$$(T\cos15)(L\cos42) = (T\sin15)(L\sin42)+ W(\frac12L\cos42)$$
Resolver la tensión $T$ en términos de $W$ el peso de la barra,
$$T = \frac{\cos42}{2\cos57}W$$
A continuación, introdúzcalo en la ecuación de equilibrio horizontal
$$T\sin15 = \mu_s(W-T\cos15)$$
para obtener el coeficiente estático
$$\mu_s = \frac{T\sin15}{W - T\cos15}=\frac{\cos42\sin15}{2\cos57-\cos42\cos15}=\frac1{\cot15-2\tan42}=0.518$$
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