Encuentre $\inf A$ y $\sup A$ para $A=\{x+\frac{4}{x}: x>0\}$

Question

Encuentre $\inf A$ y $\sup A$ para $A=\{x+\frac{4}{x}: x>0\}$

Mi intento:

$$x+\frac{4}{x}\geq 2\sqrt{x\cdot \frac{4}{x}}=4$$

$$\Rightarrow \inf A=4$$

Ahora no estoy seguro de supremum. $A$ no está acotada por arriba por lo que diría que no existe $\sup A$ en $\Bbb R$ y entiendo que $A$ tiende a infinito a medida que $x$ es cada vez mayor, pero ¿cómo puedo demostrarlo formalmente?

Answer 1

Demostrando que $$ x+\frac{4}{x}\ge4 $$ (por cierto, tu prueba está bien) no demuestra por sí misma que $4$ es el ínfimo, sino sólo que es un límite inferior.

Sin embargo, si $x=2$

Para el supremum, vas por buen camino: si $a>0$ fuera un límite superior, tendríamos $$ a+\frac{4}{a}\le a $$ lo cual es una contradicción. Así $A$ no tiene límite superior.