Débil $L_1$ es diferente de $L_1$ en un espacio de probabilidad

Question

¿Puede alguien dar un ejemplo de un espacio de probabilidad $(X , \mu )$ y funciones $f_1, ...,f_n : X \to \mathbb R$ tal que $ \| f_i \|_{ L^{ 1, \infty }} : = \sup_{ t > 0} t \lambda_{f_i} (t) \le 1$ para todos $ 1 \le i \le n$ ( $\lambda_{f_i}(t)$ es la función de distribución), pero $ \|\sum_{ i =1}^ n f_i \|_{L^{1, \infty}} \ge cn\log n $ para algunos $ c > 0$ .

---

Esto me dice que débil $L_1$ es diferente de $L_1$ en un espacio de probabilidad en general. Sin embargo, no he encontrado ningún ejemplo. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Sea $X = [0,1]$ con medida de Lebesgue. Sea $ f_k(t) = n/((k+j \bmod n)+1)$ si $t \in [(j-1)/n,j/n)$ donde $a \bmod n$ es el resto tras dividir $a$ por $n$ .