¿Cómo puedo determinar el tiempo que se tarda en acelerar si sólo conozco la distancia recorrida y cuál es la cantidad de aceleración?

Question

En este momento estoy perdiendo ya que realmente no tengo ninguna pista sobre cómo resolver este problema de cálculo ya que no hay nada que hayamos cubierto en clase como esto:

Determine cuántos segundos tardaría un coche en acelerar uniformemente de 0 a 100 km por hora hora utilizando $\frac{1}{20}$ de milla de largo. Da tu respuesta en segundos.

Lo que he determinado hasta ahora es que de alguna manera tengo que encontrar la tasa de aceleración, y luego usar la integración para encontrar el número de segundos (esto podría estar mal, honestamente no lo sé). Lo que estoy pensando este problema se parece a algo como esto: $$\int_0^{60}a(t)dt = \frac{1}{20}$$ A mi entender lo que escribí aquí dice que de 0 a 100 km/h, $\frac{1}{20}$ de milla recorrida. Si puedo determinar de algún modo $a(t)$ entonces puedo encontrar de alguna manera $t$ . Lo siento si esto no tiene mucho sentido, estoy tratando de mostrar lo mejor que mi proceso de pensamiento es en este problema, pero realmente no sé cómo resolver algo como esto, se siente como que estoy perdiendo una gran cantidad de información.

Por si alguien tiene curiosidad estoy en Cálculo I en mi primer año de universidad.

Además, para que quede claro, en realidad no estoy pidiendo una respuesta a la pregunta, tal vez sólo alguna idea sobre cómo puedo enfocarla, ya que no estoy seguro de que mi forma de pensar sea correcta.

Answer 1

Vas por buen camino. La integral que has escrito es con respecto a $dt$ por lo que los límites son valores temporales. Conoces dos datos, la velocidad final (100 km/h) y la distancia final (0,05 millas). La integral de la aceleración con respecto al tiempo es una velocidad, y la integral de la velocidad con respecto al tiempo es una distancia. No conoces el tiempo, así que llamémoslo $T$ . Porque empiezas desde el descanso, ya lo sabes: $$\int_0^Ta(t)dt=v(T)-v(0)=60\ \mathrm{mph}-0\ \mathrm{mph}=60\ \mathrm{mph}$$ También sabes que tu posición inicial es 0, así que: $$\int_0^T v(t)dt=x(T)-x(0)=0.05\ \mathrm{miles}-0\ \mathrm{miles}=0.05\ \mathrm{miles}$$ Por último, usted sabe que su aceleración es uniforme, por lo que $a(t)=a$ para una constante $a$ . Por lo tanto, tenemos dos incógnitas $a$ y $T$ y dos ecuaciones. Esto debería permitirte resolverlo todo.

Answer 2

Por desgracia, su integral de

$$\int_0^{60}a(t)dt = \frac{1}{20} \tag{1}\label{eq1A}$$

no es del todo correcto, aunque tiene la idea general adecuada. Tenga en cuenta que el período de tiempo de aceleración no es $60$ ya que ésta es, en cambio, la velocidad final. Además, la integral de la aceleración es la velocidad, no la distancia, es decir, $\frac{1}{20}$ .

En cambio, observe que la frase "acelerar uniformemente" significa que la aceleración es una constante, llámese $k$ . Es decir

$$a(t) = k \tag{2}\label{eq2A}$$

Utilizando ese $v(0) = 0$ e integrando \eqref {eq2A} para obtener la velocidad $v(t)$ da

$$v(t) = \int_{0}^{t}a(x)dx = kt \tag{3}\label{eq3A}$$

Además, como nos han dado la distancia recorrida, asigna la posición $s(0) = 0$ para que $s(t)$ es la distancia recorrida. Integrando \eqref {eq3A} entonces da

$$s(t) = \int_{0}^{t}v(x)dx = \frac{kt^2}{2} \tag{4}\label{eq4A}$$

Sea $t_f$ sea el tiempo final, en horas, en que el coche ha alcanzado $60$ mph. Usando esta in \eqref {eq3A} da

$$v(t_f) = kt_f = 60 \tag{5}\label{eq5A}$$

En ese momento, la distancia recorrida pasa a ser $\frac{1}{20}$ kilómetros. Utilizando esta in \eqref {eq4A} da

$$s(t_f) = \frac{kt_f^2}{2} = \frac{1}{20} \tag{6}\label{eq6A}$$

Siguiente, \eqref {eq6A} dividido por \eqref {eq5A} da $t_f$ en horas. Luego hay que convertirlo en segundos. Dejo que tú hagas estos dos últimos pasos.

Answer 3

Pista alternativa (no requiere cálculo): aceleración constante significa que la velocidad varía linealmente, lo que a su vez significa que la distancia recorrida en un periodo de tiempo es la velocidad media multiplicada por el tiempo.

En este caso, la distancia es $\dfrac{1}{20} \,\text{mile}$ la velocidad media es $\dfrac{0 + 60}{2} = 30 \,\text{mph}$ y dividiendo los dos se obtiene el tiempo transcurrido.

Answer 4

Con aceleración uniforme no necesitas cálculo, más allá del utilizado para integrar aceleración constante $a$ dando: $$v = v_0 + at$$ y $$x = x_0 + v_0t+\frac{1}{2}at^2$$ que se combinan para $$v^2 = v_0^2+2a(x-x_0)$$ $x_0$ es la posición inicial, que puede ajustarse a $0$ y $v_0$ es la velocidad inicial, que ya sabes que es $0$ .

Answer 5

tal vez solo alguna idea de como puedo enfocarlo ya que no estoy seguro de que mi forma de pensar sea la correcta.

Un consejo general para todos problemas: incluya siempre las unidades en sus cálculos .

Por ejemplo, la integración dada se puede considerar totalmente errónea aunque sólo se utilicen las unidades sin ningún valor:

• Lado izquierdo = [aceleración × tiempo] = [m/h/s × s] = [m/h], que es la velocidad.
• Lado derecho = [m], que es la distancia.

Independientemente de los números y cálculos reales, la velocidad no puede ser igual a la distancia, así que algo no va bien.

Del mismo modo tiene la integral:

• La unidad de valor superior es [m/h], que es la velocidad.
• El "dt" tiene como unidad [s], que es el tiempo.

La velocidad no puede ser igual a la distancia, así que de nuevo algo está obviamente mal.