Encuentre la fórmula general para el $k$ -ésima derivada de $e^x\cos(x)$

Question

$f(x) = e^x\cos(x)$

Halla la fórmula general para la derivada k-ésima $f^{(k)}(x)$

Answer 1

En primer lugar, calculamos las dos primeras derivadas: $$f^{(1)}(x)=-e^x\sin x+e^x\cos x\tag{1}$$ $$f^{(2)}(x)=-2e^x\sin x \tag{2}$$

De lo que sabemos por ici que $$f^{(n)}(e^x\sin x)=(-4)^{[n/4]}f^{(n \bmod 4)}(e^x \sin x)\tag{3}$$

Entonces puedes concluir fácilmente.

Answer 2

Pista: Calcular el primer $4$ o $5$ derivados.

\begin{align}f'(x)=e^x(\cos(x)-\sin(x))\\f''(x)=-2e^x\sin(x)\\f'''(x)=e^x(-2\sin(x)-2\cos(x))\\f''''(x)=-4e^x\cos(x)\end{align} Verás $f''''(x)=-4f(x)$ y ahora deberías ser capaz de deducir una fórmula.

Answer 3

Pistas:

¿Qué es el $k$ -ésima derivada de $e^x$ ?

¿Qué es el $k$ -ésima derivada de $\cos(x)$ ?

¿Cuál es la fórmula de Leibniz para la $n$ -¿enésima derivada de un producto?

Alternativa:

Escriba a $\cos(x)$ en términos de $e^{ix}$ y $e^{-ix}$ .