Para complementar la otra respuesta y los comentarios: la utilidad de las ideas de la teoría de categorías tampoco se limita en absoluto al "álgebra". Por ejemplo, la topología del producto sobre un producto infinito de espacios topológicos siempre me había parecido decepcionantemente débil y me preguntaba por qué esa era "la definición". De hecho, esa construcción es una construcción de (un modelo para) el categórico en la categoría de espacios topológicos. Es decir, en lugar de ser simplemente una definición que hemos heredado, tiene funcional propiedades. De hecho, con esta retrospectiva, me parece perverso "definir" tantas cosas sin explicar lo que se supone que ocurre. Una categórica caracterización suele ser mucho más informativo.
Otro ejemplo, algebraico, pero no "rebuscado": ¿qué es ¿un "indeterminado", después de todo? ¿Una "variable"? Ciertamente hay heurísticas que diríamos a los principiantes, y sabemos cómo utilice "indetermina x,y...", pero ¿qué son ¿Ellos? Una forma precisa es decir que $\mathbb Z[x]$ es el anillo libre con identidad en un generador $x$ ... lo que significa que, dado $r\in R$ en un anillo arbitrario $R$ con identidad, existe un único homomorfismo de anillo $\mathbb Z[x]$ a $R$ enviando $x$ a $r$ .
En una dirección bastante diferente, la topología sobre el espacio de funciones de prueba sobre $\mathbb R^n$ o incluso sólo sobre funciones continuas compactamente soportadas, es una colimit . Para continuos compactamente soportados, es el colímite de los espacios de Banach $C^o_K$ de funciones continuas sobre $\mathbb R^n$ compatible con compact $K$ . Por el contrario, la "definición" dada en el "Análisis funcional" de Rudin para la topología de la función de prueba es en realidad una construcción y en la sección siguiente se demuestran varios lemas misteriosos de los que me di cuenta más tarde que eran, en realidad, verificaciones de las propiedades del colímite. (De hecho, Schwartz utilizó abiertamente la noción de colímite hacia 1950, pero el uso de tales nociones había estado fuera de estilo para los analistas estadounidenses durante muchas décadas. Algo de eso puede ser una reacción anti-Bourbaki, aunque Bourbaki tampoco utilizó ideas de teoría de categorías).
A corto plazo, suele ser posible "llevarse bien" sin utilizar abiertamente términos o ideas de la teoría de categorías. Sin embargo, cuantas más cosas uno encuentra motivos para recordar, más imperativo es organizarlas bien, eliminar redundancias y duplicaciones y desperdicios, etc. Las ideas de la teoría de categorías son muy útiles en este sentido.
(Esto no quiere decir que la teoría "formal" de las categorías sea necesariamente igual de útil, de la misma manera que, aunque la teoría de conjuntos es innegablemente útil, la utilidad de una teoría de conjuntos altamente desarrollada no es tan grande. formal o la teoría axiomática de conjuntos probablemente no sea tan útil como las partes básicas).
