Sea $I$ sea un ideal finitamente generado en $R$ tal que $I^2 = I$ . Utilizando el hecho de que existe $x\in R$ tal que $e = 1 - x\in I$ y $xI = 0$ utilizaremos el lema de Nakayama para demostrar que $I$ es principal, generado por un idempotente.
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Bueno, usted sabe que por Nakayama que hay un $x$ tal que $1-x \in I, xI = 0$ . Para cualquier elemento $y$ en $I$ tenemos que $$(1-x)y = y-xy = y$$ Lo que significa que cualquier elemento $z \in I$ puede escribirse de la forma $$(1-x)z\in R$$ lo que da la inclusión $I \subseteq (1-x)$ y la inclusión inversa proviene del hecho de que $1-x \in I$ . También tenemos idempotencia porque $$(1-x)(1-x) = 1-x$$ Por nuestra primera afirmación. Por lo tanto $I = (1-x)$ y satisface todas las propiedades enumeradas.
