Ecuaciones funcionales con soluciones no diferenciables en ninguna parte

Question

Como ejemplo, la ecuación funcional $f(x+y)=f(x)f(y)$ declarando que $f$ es continua y diferenciable, podemos llegar a la solución única $f(x)=a^x$ demostrando primero que $f'(x)=f(0)f(x)$ y luego usar la teoría básica de las EDO para declarar tal $f$ existe.

Me interesa un ejemplo de ecuación funcional cuya única solución sea una continua no diferenciable en ninguna parte función. Mientras que con un poco de gimnasia con la trigonometría se podría llegar a una ecuación funcional para algo como el Funciones de Weierstrass la unicidad puede ser difícil de demostrar. ¿Existen buenos ejemplos "fáciles" de este tipo de ecuaciones funcionales? Preferiría algo que utilice operaciones básicas y funciones clásicas y no, digamos, derivadas en el sentido de series de potencias formales.

Answer 1

Bien, hagamos la mencionada gimnasia para llegar a $$f(x)=\cos x + a\cdot f(bx)\qquad(a<1,\;b>1)$$ Ahora podemos ampliar $f(bx)$ a la derecha para obtener $f(b^2x)$ luego amplíalo también, y así sucesivamente. A menos que $f$ crece demasiado rápido (digamos que exigimos que la solución esté acotada), obtendremos la serie que se parece mucho a la definición de la función de Weierstrass.

A mí me parece bastante clásico.

Además, no tiene por qué ser trigonometría; supongo que la onda triangular en lugar de coseno funcionaría igual de bien.