Apertura de $S=\{(x, \sin(1/x) : x>0\}$

Question

Sea $S=\{(x, \sin(1/x) : x>0\}$ .

Tengo entendido que $S$ no está abierto en $\mathbb{R}^2$ pero $S$ es abierto en la topología del subespacio.

¿Es correcto?

Gracias, señor.

Answer 1

Sí, tienes razón. ¿Entiendes por qué tienes razón?

He aquí una idea intuitiva de por qué tiene razón sobre $S$ no estar abierto:

Piense en el gráfico de $f(x) = \sin(1/x)$ en el $xy$ -plano para $x > 0$ . Ahora, escoge algún punto en la curva, tal vez en $x = 100$ (o en cualquier sitio). Dibuja una bola alrededor de ese punto de cualquier radio $\epsilon$ . ¿Sólo hay elementos de ese gráfico en la bola? No, claro que no. Siempre habrá trozos de "espacio en blanco" (es decir, el complemento de $S$ ) en el balón abierto alrededor del punto en $S$ y esto es cierto para cualquier bola que dibujes, de cualquier radio. Así que $S$ no puede ser abierta, ya que si lo fuera, entonces para cada punto en ella, podemos encontrar un radio tal que la bola alrededor de ese punto contenga sólo puntos en $S$ .

Ahora, en cuanto a $S$ siendo abierto en la topología del subespacio, tienes que especificar de qué subespacio estás hablando. Si te refieres a la topología subespacial de $S$ entonces, por supuesto $S$ es abierto en su propia topología subespacial. Es una afirmación trivial, como decir $\Bbb R$ es abierta en su propia topología. Intuitivamente, si se elige cualquier punto de $S$ entonces la "bola" en la topología del subespacio parece un intervalo abierto, pero es un intervalo abierto en la propia curva . Por supuesto, cualquier punto de la curva tiene una bola abierta a su alrededor que sólo contiene puntos de la curva (si trabajamos en la topología del subespacio).