$\frac{\ln(x^2)}{\ln(x)} = 2$ ? ¿Por qué?

Question

$\frac{\ln(x^2)}{\ln(x)} = 2$ ?

Al intentar evaluar $\frac{\ln(x^2)}{\ln(x)}$ he encontrado que google lo traza como siempre igual a 2, aparte de 0 donde es indefinido. ¿Por qué ocurre esto?

Answer 1

Recordemos la propiedad del logaritmo $$\frac{\ln x^2}{\ln x} = \frac{2\ln x}{\ln x} = 2.$$ Pero esto sólo es cierto cuando $x>0$ y $x\neq1$ . De lo contrario, allí hay un "agujero"; una discontinuidad removible. Obsérvese que es difícil no representar gráficamente, por lo que las herramientas gráficas suelen rellenar el agujero o representarlo gráficamente.

Answer 2

$$\frac{\ln(x^{2})}{\ln(x)} = \frac{2\ln(x)}{\ln(x)} = 2 $$

Answer 3

Podemos utilizar la fórmula de cambio de base para escribir lo siguiente. $$\frac{\ln \left(x^2\right)}{\ln x}=\log_x\!\!\left(x^2\right)=2$$ Lo anterior es válido para todos los $x>0,x\neq1$ .