Parametrización de dos superficies $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ y $\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q}=2z$ .

Question

¿Puede alguien ayudarme a parametrizar las siguientes superficies en términos de funciones hiperbólicas (para la segunda puede que no sea posible, pero necesito un conjunto de ecuaciones paramétricas más conveniente que el mío) y trigonométricas?

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 $$ y $$\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q}=2z$$ He intentado hacerlo pero el conjunto de ecuaciones paramétricas que obtuve eran demasiado complicadas ya que tengo que utilizarlas en algún cálculo posterior que hace que el resultado sea muy feo. Para la primera ecuación el conjunto de ecuaciones paramétricas es: $$x=a\sqrt{1+\frac{u^2}{c^2}}\cos v, \ \ y=b\sqrt{1+\frac{u^2}{c^2}}\sin v \ \ z=u$$

y para el segundo: $$x=\sqrt{2pu} \cos v ,\ \ y=\sqrt{2qu} \sin v, \ \ z=u $$

Answer 1

$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 $$

Pruebe

\begin{align} x &=& a\cosh u \\ y &=& b\sinh u \cos v \\ z &=& c\sinh u \sin v \end{align}

Entonces

\begin{eqnarray} \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} &=& \cosh^2 u -(\sinh^2u\cos^2v + \sinh^2u\sin^2v) \\ &=& \cosh^2 u - \sinh^2 u \\ &=& 1 \end{eqnarray}

$$ \frac{x^2}{p} + \frac{\color{red}{y}^2}{q} = 2z $$

Pruebe

\begin{align} x &=& \sqrt{2up}\cos v \\ y &=& \sqrt{2uq}\sin v \\ z &=& u \end{align}

En este caso

\begin{eqnarray} \frac{x^2}{p} + \frac{y^2}{q} &=& \frac{2 u p}{p}\cos^2v + \frac{2 u q}{q}\sin^2 u = 2u \\ &=& 2z \end{eqnarray}

Answer 2

Por la primera: $$\frac{x^2}{a^2}\color{red}{-}\left(\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)=1$$ \begin{eqnarray} &x&=a\cosh\theta,\\ &y&=b\cos\phi\sinh\theta,\\ &z&=c\sin\phi\sinh\theta.\\ \end{eqnarray}