Dejemos que $B$ sea un espacio de Banach (complejo). Una función $f : \mathbb{C} \to B$ es holomorfo si $\lim_{w \to z} \frac{f(w) - f(z)}{w - z}$ existe para todos los $z$ como en el caso ordinario en el que $B = \mathbb{C}$ . El teorema de Liouville para los espacios de Banach dice que si $f$ es holomorfo y $|f|$ está acotado, entonces $f$ es constante.
La única forma que conozco de demostrarlo es utilizando el teorema de Hahn-Banach: una vez que sabemos que las funciones lineales continuas sobre $B$ puntos separados, podemos aplicar el teorema de Liouville habitual para $\lambda(f)$ para cada una de estas funciones $\lambda : B \to \mathbb{C}$ .
¿Podemos evitar el uso de Hahn-Banach? ¿Y si $B$ ¿es además un álgebra de Banach?
Motivación: El teorema de Liouville es útil en la teoría elemental de las álgebras de Banach, donde me parece que no solemos necesitar los grandes teoremas de la teoría de los espacios de Banach (por ejemplo, el teorema del grafo cerrado), y me gustaría poder desarrollar esta teoría dentro de ZF si es posible. Sería muy interesante que esto fuera realmente independiente de ZF.
