$*$ -de $C^*$ -álgebras y representaciones

Question

Para $i=1,2$ , dejemos que $\mathcal{A}_i$ ser un abstracto $C^*$ -y $\pi_i : \mathcal{A}_i \rightarrow \mathcal{B}(\mathcal{H}_i)$ a $C^*$ -representación. Sea $\alpha: \mathcal{A}_1 \rightarrow \mathcal{A}_2$ un *-homorfismo.

Estoy buscando un teorema que pueda afirmar que existe un único $*$ -homorfismo $\tilde{\alpha} : \pi_1 (\mathcal{A}_1)'' \rightarrow \pi_2 (\mathcal{A}_2)''$ de álgebras von Neumann tales $ \tilde{\alpha}(\pi_1(a))= \pi_2(\alpha(a))$ para todos $a \in \mathcal{A}_1$ . ¿En qué topología $\tilde{\alpha}$ ¿es continua?

Por favor, necesito referencias sobre dicho teorema.

Gracias,

D

Answer 1

Esta extensión no suele existir. Por ejemplo $\mathcal A_1=\mathcal A_2=UHF(2^\infty)$ . Sea $\pi_1:\mathcal A_1\to \mathcal B(\mathcal H_1)$ sea una representación de Powers tal que $\pi_1(\mathcal A_1)''$ es un factor de tipo III $M$ . Y que $\pi_2:\mathcal A_2\to \mathcal B(\mathcal H_2)$ ser GNS de la traza, por lo que $\pi_2(\mathcal A_2)''$ es el hiperfinito II $_1$ -factor $R$ .

Toma $\alpha(x)=x$ el isomorfismo de identidad.

Ahora quieres un $*$ -homorfismo $\bar\alpha: M\to R$ . Podemos suponer $\bar\alpha(1)=1$ (de lo contrario, sustituya $R$ con $\bar\alpha(1) R\bar\alpha(1)$ que sigue siendo un hiperfinito II $_1$ ). Dada cualquier proyección $p\in M$ tenemos $p\simeq 1$ Así que $\bar\alpha(p)\simeq 1$ ya que esta última equivalencia se da en un II $_1$ -tenemos $\bar\alpha(p)=1$ para todas las proyecciones $p\in M$ . Pero entonces $1=\bar\alpha(1)=\bar\alpha(p+1-p)=\bar\alpha(p)+\bar\alpha(1-p)=2$ . Así que $\bar\alpha$ no existe.