¿Cómo motivar y presentar las pruebas épsilon-delta a los estudiantes universitarios?

Question

Parece una pregunta habitual, pero me sorprende no haberla visto ya formulada y respondida en MO.

Estoy dando un curso de licenciatura, y quiero enseñarles a construir pruebas básicas épsilon-delta, digamos, de $\lim_{x \rightarrow 3} x^2 = 9$ y $\lim_{x \rightarrow 4} x^2 \neq 17$ . (Sólo funciones continuas elementales.) Éste es un serio escollo para muchos estudiantes, con razón, y preveo que también lo será para los míos.

¿Tienen otros alumnos de MO sugerencias (más allá de lo que puedo encontrar en los típicos libros de cálculo) para presentar épsilon-delta por primera vez? ¿Alguna historia de éxito que compartir?

¡Muchas gracias! --Frank

(Antecedentes: Estoy impartiendo un curso de matemáticas discretas a estudiantes universitarios estadounidenses que ya han cursado un año de cálculo. Si $\epsilon-\delta$ es un tema para las matemáticas discretas es quizás cuestionable, pero hicimos material sobre dar sentido a las declaraciones con un montón de cuantificadores, y también una introducción a las técnicas de prueba, por lo que el material parecía un ajuste natural. También debo mencionar que tengo la intención de poner a prueba a los estudiantes en este material y no sólo exponerlos a él).

Answer 1

Básico $\epsilon$ - $\delta$ El pensamiento es fácil de motivar utilizando los conceptos de control de entrada y tolerancia de error de salida. Si $f(a)=c$ con qué precisión necesita controlar la entrada (especificando $\delta$ y exigiendo $|x-a|<\delta$ ) para garantizar el cumplimiento de una determinada tolerancia de error de salida ( $|f(x)-c|<\epsilon$ )?

La semana 2 de cálculo de primer año no es demasiado pronto para insistir en que los alumnos de EE.UU. aprendan a responder preguntas sobre este tema con ejemplos sencillos. Está claro que se trata de una habilidad importante para responder a preguntas como "¿Con qué precisión hay que apuntar una nave espacial para que entre en órbita alrededor de Marte?". (Recordemos que, en su día, no hacerlo le costó a la NASA alrededor de 500 millones de dólares). O para diseñar márgenes de seguridad en ingeniería, como sugiere Vectornaut.

La importancia y la utilidad de los conceptos fundamentales del cálculo son a menudo infravalorados no sólo por los estudiantes principiantes. Un estudiante de ingeniería me explicó una vez que se había dado cuenta de que los "coeficientes de sensibilidad" que se utilizaban en todos los cursos de ingeniería no eran más que derivadas.

Answer 2

Me gusta relatar la intuición de los alumnos de que "cuando $x$ se acerca a $a$ entonces $f(x)$ se acerca a $b$ " a la definición formal de límite dibujando la gráfica de una función continua $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $\delta$ y $\epsilon$ intervalos alrededor de $a$ y $b$ en los ejes.

Entonces se puede intentar discutir y argumentar el orden de cuantificación de $\epsilon - \delta$ la función viene $\epsilon$ -cerca de $b$ si tomamos argumentos $\delta$ -cerca de $a$ . También se puede preguntar a los alumnos sobre su intuición de un límite y, si no son suficientemente precisos, construir contraejemplos, como cuando $f$ salta a $a$ aunque es monótona, es decir, "siempre se aproxima a $a$ "pero no arbitrariamente cerca.

También me gusta el enfoque explícito de "juego" y "peor enemigo" que ya se ha dado. Esto ayuda especialmente a enseñar a los alumnos que el problema está en las pequeñas $\epsilon$ 's, no valores grandes.

Answer 3

Me gusta la idea de utilizar el término "barrio" y la notación $f(M)$ para una función $f$ y establece $M$ . Así tenemos la definición: para todos los barrios $N$ de $f(x)$ hay un barrio $M$ de $x$ tal que $f(M) \subseteq N$ . Luego puedes hacer dibujos de los conjuntos reales que se están cartografiando.

Parte del problema psicológico de un $\varepsilon$ - $\delta$ prueba es que se trata de medidas del tamaño del barrio y no del barrio real. Para pruebas concretas se necesitan los números.

Esto también está relacionado con la idea de que la definición de vecindad de una topología es la más intuitiva, aunque, por supuesto, haya que aportar las definiciones equivalentes en términos de conjuntos abiertos o cerrados.

Motivados por la idea de "encadenamiento inverso" en la psicología del aprendizaje, utilizamos la idea de "pruebas de relleno". Tomamos una prueba de que el producto de límites es un límite, borramos algunos trozos y pedimos a los alumnos que completen los trozos que faltan utilizando las pistas que hemos dejado del resto de la prueba. Así estructura de la prueba. Esto es análogo a la forma de trabajar de un profesional: primero se obtiene la estructura y luego se completan los detalles.

Además, estos ejercicios son muy fáciles de marcar.