¿Cómo motivar y presentar las pruebas épsilon-delta a los estudiantes universitarios?

Question

Parece una pregunta habitual, pero me sorprende no haberla visto ya formulada y respondida en MO.

Estoy dando un curso de licenciatura, y quiero enseñarles a construir pruebas básicas épsilon-delta, digamos, de $\lim_{x \rightarrow 3} x^2 = 9$ y $\lim_{x \rightarrow 4} x^2 \neq 17$ . (Sólo funciones continuas elementales.) Éste es un serio escollo para muchos estudiantes, con razón, y preveo que también lo será para los míos.

¿Tienen otros alumnos de MO sugerencias (más allá de lo que puedo encontrar en los típicos libros de cálculo) para presentar épsilon-delta por primera vez? ¿Alguna historia de éxito que compartir?

¡Muchas gracias! --Frank

(Antecedentes: Estoy impartiendo un curso de matemáticas discretas a estudiantes universitarios estadounidenses que ya han cursado un año de cálculo. Si $\epsilon-\delta$ es un tema para las matemáticas discretas es quizás cuestionable, pero hicimos material sobre dar sentido a las declaraciones con un montón de cuantificadores, y también una introducción a las técnicas de prueba, por lo que el material parecía un ajuste natural. También debo mencionar que tengo la intención de poner a prueba a los estudiantes en este material y no sólo exponerlos a él).

Answer 1

Por alguna razón, a los alumnos a los que enseño siempre les encanta la épsilon-delta (no es que escriban buenas pruebas de épsilon-delta per se), y cuanto más "mal" la enseño, más la disfrutan. Lo "incorrecto" que me gusta hacer es definir los números reales a través de las secuencias de Cauchy desde el principio, al menos a mano alzada.

Llamar "real" a un número real es orwelliano: ninguno de ustedes ha visto nunca un número real. Se puede calcular pi hasta 100, 1.000 o un millón de cifras después del punto decimal, pero nunca se puede escribir todo, nunca se sabe exactamente lo que es. Incluso números como 0 y 1 son desconocidos como números reales. Puedes escribir "0,00000..." hasta que se te ponga la cara azul, pero nunca sabrás si el número que has escrito era realmente cero o no, porque podría haber un escurridizo "...000001..." a la vuelta de la esquina para morderte.

Así que los números reales vienen con "pelusa". Son inherentemente "borrosos". No hay manera de evitarlo. Puedes fingir que son puntos sobre una línea y estrellarte de bruces contra las paradojas de Zenón, o puedes aceptar su imprecisión y trabajar con ella; y yo sostengo que el cálculo no es otra cosa que ese "segundo enfoque".

Así que mi "épsilon" es la pelusa. Son todos esos dígitos de "pi" (o de "cero") que nunca anotaste. Es el árbol que cae cuando nadie está allí para oírlo. Es la brecha entre el conocimiento humano y la verdad universal. Como tal, forma parte de lo que es un número real: un número real (tal y como lo observan los seres mortales) viene con pelusa. Una función continua de los reales a los reales, por tanto, tiene que "respetar la pelusa".

De todos modos, por muy contraintuitiva que sea (tal vez), esta motivación me ha funcionado de maravilla en la práctica. Y por eso sigo utilizándola, y sigo entusiasmándome con ella, y es la mejor parte del curso, año tras año.

Añadido : Interpretando el verbo "motivar" de otra manera, siempre hablo de la historia de las ideas con cierta profundidad (yo mismo lo aprendí de wikipedia y de libros de historia de las matemáticas), y de lo mucho que la gente se esforzó por encontrar la definición "correcta", sin éxito, hasta que Bernard Bolzano (¡principalmente un sacerdote católico!) dieron por fin con una idea que funcionó en 1810. ¿Qué idea intentaban captar? ¿Por qué era tan difícil? ¿Por qué tardaron 2.500 años (de Zenón de Elea a Bolzano) en dar con la idea correcta?

También hablaré de que la definición ha sido reelaborada y destilada por muchas muchas personas - primero sus inventores, luego los matemáticos, después los autores de libros de texto, perfeccionándose cada vez más y haciéndose cada vez más pequeña hasta que lo que queda parece a quien la ve por primera vez una pequeña piedra fría y dura. Sólo cuando la pules (la trabajas mentalmente y resuelves problemas) y la iluminas con una luz brillante (le das sentido por ti mismo a todos esos cuantificadores anidados) puedes verla por fin como lo que es: un diamante.

Answer 2

Epsilon-delta representa un par de cuantificadores (para todo ... existe ...). Desafío-respuesta. Las matemáticas discretas toman debe ser "oye, esto es como un juego", porque si iteras la cuantificación en realidad estás hablando de una estructura parecida a un juego. En otras palabras, el punto de enseñanza es algo así como la transición de "si quieres que la respuesta concuerde con cinco decimales entonces tienes que ir lo suficientemente lejos hacia el límite", a "¡sé que siempre puedo responder a tu reto porque tengo una estrategia!". Demostrar que existe un límite es lo mismo que demostrar que existe tal estrategia: pero tenga en cuenta que la estrategia no es más constructiva de lo que lo es la prueba.

En otras palabras, hablar de límites no es más que hablar de pruebas de existencia para ciertos tipos de estrategias de bajo nivel. ¡Que vuelva Weierstrass!

Answer 3

Cuando hablo con ingenieros, me gusta motivarles. $\epsilon, \delta$ prueba de esta manera...

Si se introduce vapor en una turbina a una presión de $p$ MPa la turbina generará electricidad con una frecuencia de $f(p)$ Hz . La turbina se supone que está poniendo a cabo $120$ Hz; para conseguirlo, hay que poner vapor a $24$ MPa.

Los aparatos eléctricos están diseñados para funcionar siempre que la frecuencia que les llega esté dentro de unos márgenes de tolerancia. $\epsilon$ de la frecuencia esperada, $120$ Hz. Si la frecuencia del generador es superior a $120 + \epsilon$ o por debajo de $120 - \epsilon$ Las aplicaciones de los usuarios pueden dejar de funcionar, posiblemente de forma espectacular y espeluznante.

Tu trabajo, como ingeniero, es encontrar un margen de seguridad $\delta$ tal que la frecuencia de salida $f(p)$ estará dentro de $\epsilon$ de $120$ siempre que la presión de entrada $p$ está dentro de $\delta$ de $24$ .

Si la función $f$ es continua en $24$ siempre se puede hacer esto, por pequeña que sea la tolerancia $\epsilon$ es. Si $f$ no es continua en $24$ Hay algunas tolerancias que son demasiado pequeñas... por muy estrecho que sea el margen de seguridad. $\delta$ nunca podrá garantizar que la frecuencia de salida esté dentro de la tolerancia de $120$ .

Answer 4

Me inclino por hablar de imágenes como disparar una flecha a una diana y cosas así, pero seguro que las has oído. El problema es que es muy difícil comunicar por qué querríamos pasar de la noción intuitiva de límite a la moderna. La mayoría de los argumentos que daríamos simplemente no son convincentes para los estudiantes.

No será una respuesta popular, pero una forma de sortear la dificultad anterior es adoptar un enfoque formalista y dar a los alumnos una forma más o menos mecánica de tratar los cuantificadores múltiples. Mientras lo hacen, los estudiantes adquieren una idea del uso adecuado de los cuantificadores y se hacen una idea de cómo "hacer" las pruebas. Cuando adquieren cierta destreza, parecen más dispuestos a ver cómo aporta claridad. Mis alumnos han respondido bien al tratamiento de la demostración básica que se encuentra en el capítulo 3 del libro de Daniel J. Velleman Cómo demostrarlo un enfoque estructurado.

Recuerda que en la pregunta, el OP pedía formas de enseñar a los estudiantes a construir pruebas básicas épsilon-delta.

He aquí un ejemplo: Demostrar que $lim_{x \rightarrow 0}2=2$ . Los alumnos escriben dos columnas en su página: una columna "datos" y una columna "objetivo". En la columna "meta" escribe simbólicamente la definición del límite en cuestión. A continuación, enséñales que, cuando vean un cuantificador universal en la columna del objetivo, pueden moverlo a la columna de los datos como "Sea $\epsilon$ >0 sea arbitraria". (Esto evita temporalmente el malentendido de los alumnos sobre el uso de la palabra "arbitrario"). A continuación, deben fabricar un delta. Aquí se les muestra dónde tiene lugar la "matemática real": haz lo necesario para fabricar tu delta. Empiece por lo que quiere estimar y vaya retrocediendo. En nuestro ejemplo, cualquier delta positivo es suficiente. Lo importante es que, después de hacer tu "trabajo preliminar", vuelvas atrás y escribas Let $\delta$ igual a 3, (o lo que hayas elegido) en la columna de dados, (puedes explicarles la razón por la que esto es lógico, o hablar de ello más tarde). La cuestión es que te han visto descubrir el delta y que la prueba está escrita en "orden inverso". Entonces se puede eliminar el cuantificador existencial de la columna del objetivo. El objetivo ahora es simplemente ejecutar tu trabajo de raspado en orden inverso hasta que termines con algo formalmente idéntico a lo que aparece en la columna del objetivo.

La idea es que, si los alumnos son capaces de construir unas cuantas pruebas como éstas, quizá tengan la oportunidad de discutir lo que ha ocurrido. Si parece demasiado milagroso o alejado del sentido común, simplemente no escucharán.

Una vez adquirida cierta experiencia (yo lo hago fijándome en los límites secuenciales en lugar de en el delta épsilon) es bueno dar algunas descripciones informales pero precisas de lo que es un límite. Por ejemplo, una secuencia $a_{n}$ de números reales converge a un número real $L$ cuando para cualquier $\epsilon>0$ todos los términos de la sucesión, salvo un número finito, se encuentran dentro de $\epsilon$ de $L$ . Después de que sepan construir pruebas, parece que funciona mejor intentar que los alumnos conceptualicen.

¡Mucha suerte con esto, Frank!

Answer 5

Creación de una $\epsilon-\delta$ juego es realmente interesante. ¡Gracias Charles Matthews! BTW, una estrategia similar ha sido expuesta por el Prof.Terry Tao en:Thinking and Explaining, https://mathoverflow.net/questions/38882 (versión: 2011-10-12)

Otra cuestión sobre la que los estudiantes suelen sentirse esquivos en $\epsilon-\delta$ método es por qué es "para cada $\epsilon>0$ existe la correspondiente $\delta>0$ " y y no al revés. En este contexto, la siguiente analogía sencilla puede ilustrar la cuestión:

Suponiendo que el curso de matemáticas discretas se ofrezca a los estudiantes de CS, consideraré la analogía con el desarrollo de software. En el desarrollo de software, hay esencialmente dos partes. Un desarrollador( $\delta$ productor) y el otro Cliente/Usuario( $\epsilon$ dador).

Podemos preguntar a los alumnos cuál de los modelos siguientes prefieren:

Modelo 1 : El cliente da una especificación y el desarrollador se atiene a ella. Es decir, el cliente pide una determinada característica para su producto y el desarrollador la cumple. Análogamente, fijar $\epsilon>0$ en el rango ajustar $\delta$ en el dominio.

Modelo 2 : El desarrollador da un producto determinado y el cliente debe aceptarlo por patético que sea. Análogamente, arreglar $\delta>0$ y esperar $\epsilon>0$ para estar satisfechos.

Naturalmente, se prefiere el modelo 1. Y ese es nuestro $\epsilon-\delta$ método.

Por supuesto, podemos cambiar la configuración en función de los estudiantes a los que nos dirijamos (ingenieros/físicos/biólogos, etc.).