Superficies complejas no compactas que no son de Kähler

Question

No todas las variedades complejas son variedades de Kähler (es decir, a las que se puede aplicar una métrica de Kähler). Todas las superficies de Riemann son de Kähler, pero en dimensión dos y superiores, al menos para las variedades compactas, existe una condición topológica necesaria (es decir, que los números de Betti impar sean pares). Esta condición también es suficiente en dimensión dos, pero no en dimensiones superiores. Por tanto, la tarea de encontrar ejemplos de variedades complejas compactas que no sean de Kähler se reduce a consideraciones topológicas.

En el entorno no compacto, también podemos encontrar este tipo de variedades. Por ejemplo $H$ sea una superficie Hopf, que es una superficie compleja compacta que no es Kähler. Entonces para $k > 0$ , $M_{k+2} = H\times\mathbb{C}^k$ es una variedad compleja no compacta que no es de Kähler - cualquier submanifold de una variedad de Kähler es de Kähler, y $H$ es un submanifold de $M_{k+2}$ . Esto genera ejemplos en dimensiones tres y superiores. Así que hago la siguiente pregunta:

¿Alguien conoce algún ejemplo explícito (fácil) de superficies complejas no compactas que no sean de Kähler?

Answer 1

Siguiendo la sugerencia de David Speyer, dejemos que $X=\mathbb{C}^2-\{0\}/\lbrace(x,y)\mapsto (2x,2y)\rbrace$ sea la superficie estándar de Hopf. La imagen, $E$ de la $x$ -es una curva elíptica. Quitar un punto de $X-E$ para obtener $Y$ . El segundo número de Betti $b_2(Y)=0$ porque es homeomorfo a $S^3\times S^1-pt$ . Si $Y$ eran Kähler entonces $\int_E\omega\not=0$ , donde $\omega$ es la forma de Kähler, y esto implicaría que $b_2(Y)\not=0$ .

Answer 2

A partir de cualquier superficie compacta no Kähler $X$ eliminar un punto $p$ . Queda una superficie no Kahler, no compacta. Para la demostración, véase Théorème 2.3 en A. Lamari - Courants kählériens et surfaces compactes. En primer lugar, por un teorema de Shiffman, una forma de Kähler sobre $X\setminus {p}$ se extiende como una corriente positiva cerrada a todo $X$ . Entonces, localmente alrededor de $p$ la singularidad en $p$ puede fijarse utilizando convoluciones para obtener una forma de Kähler suave en $X$ .