¿Son los ceros "semi" triviales de $\zeta(s) \pm \zeta(1-s)$ ¿todos en la línea crítica?

Question

La prueba de que $\Gamma(z)\pm \Gamma(1-z)$ sólo tiene ceros para $z \in \mathbb{R}$ o $z= \frac12 +i \mathbb{R}$ se ha dado aquí:

¿Son todos ceros de $\Gamma(s) \pm \Gamma(1-s)$ en una línea con parte real = $\frac12$ ?

Una pregunta obvia es si $\zeta(s) \pm \zeta(1-s)$ también tiene ceros (aparte de sus unos no triviales que inducirían 0+0 o 0-0).

Este es el caso y $\zeta(s)^2 - \zeta(1-s)^2$ tiene los siguientes ceros:

$\frac12 \pm 0.819545329 i$

$\frac12 \pm 3.436218226 i$

$\frac12 \pm 9.666908056 i$

$\frac12 \pm 14.13472514 i$ (el primero no trivial)

$\frac12 \pm 14.51791963 i$

$\frac12 \pm 17.84559954 i$

$\dots$

Estos ceros "semi" triviales parecen estar todos en la línea crítica. Me pregunto si se sabe o se ha demostrado algo sobre su ubicación (supongo que no, ya que una prueba de que deben tener parte real de $\frac12$ implicaría automáticamente RH, ¿verdad?).

EDITAR: Dos contraejemplos encontrados por Joro en las respuestas siguientes. Ambos tienen partes reales fuera de la franja crítica, por lo que me gustaría reformular mi pregunta como:

¿Están todos los ceros "semi" triviales que se encuentran dentro de la franja crítica en la línea crítica?

Answer 1

Un poco fuera de tema : esto artículo de Arxiv (en francés) muestra que los ceros de las funciones f : s -> h(s) - h(1-s), donde h es una función meromorfa que satisface las condiciones de crecimiento apropiadas, tienden a situarse en la línea crítica, por lo que este fenómeno no es específico de las funciones gamma.

No he comprobado que el resultado principal del artículo se aplique a la función de la respuesta anterior de GH.

Answer 2

Si $\zeta(s)$ es distinto de cero, pero $\zeta(s)\pm\zeta(1-s)=0$ entonces por la ecuación funcional de la función zeta de Riemann tenemos $$ \pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\pm \pi^{-\frac{1-s}{2}}\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)=0.$$ Es decir, tu pregunta no es más que la Hipótesis de Riemann más otra más elemental similar a tu pregunta anterior sobre los ceros de $\Gamma(s)\pm\Gamma(1-s)$ . Yo esperaría que aquí funcionaran exactamente las mismas técnicas, es decir, se puede demostrar mediante estimaciones conocidas para la función gamma que todas las soluciones no reales de la ecuación mostrada se encuentran en $\Re s=1/2$ .

EDITAR 1. Para mantenerme al día con los nuevos desarrollos, ahora espero que dentro de la franja crítica todas las soluciones no reales de la ecuación mostrada se encuentren en $\Re s=1/2$ . Además, parece razonable creer que no existen soluciones no reales con $|\Re s|$ suficientemente grande.

EDITAR 2. Del teorema de Rouché generalizado y de la aproximación de Stirling se deduce que no existen soluciones no reales con $|\Re s|$ suficientemente grande. Más concretamente, consideremos el contorno rectangular $C_n$ con vértices $2n\pm it$ y $2n+2\pm it$ donde $n>0$ es un número entero grande y $t>0$ es suficientemente grande en términos de $n$ . Basta con demostrar que a lo largo de $C_n$ tenemos $$ \left|\pi^{-\frac{1-s}{2}}\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\right|<\left|\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\right|,$$ porque esto implica que dentro de $C_n$ hay precisamente una solución de la ecuación mostrada arriba (que debe ser real por el principio de reflexión). Se puede demostrar que el lado derecho dividido por el lado izquierdo es $ \gg n^{2n-\frac{1}{2}}(\pi e)^{-2n}$ en los lados verticales de $C_n$ mientras que $\gg_n t^{2n-\frac{1}{2}}$ en los lados horizontales de $C_n$ . La reclamación sigue.

Answer 3

Esto podría ser un contraejemplo a $\zeta(s)-\zeta(1-s)$ .

Método de Newton a partir de $13 + 3i$ converge a $s \approx 13.16278786499+2.580464971850i$ que aparece un cero.

[ Añadido Un contraejemplo para $\zeta(s)+\zeta(1-s)$ aparece $$ s \approx 14.870309115978233377 + 1.6450192905454179639i $$

[ Añadido más tarde ] A petición de Agno los ceros adicionales encontrados hasta ahora para $\zeta(s)-\zeta(1-s)$ son $16.478090665944547285 \pm 0.67940600947784773819i$ y $8.9909145336149198065 \pm 4.5105941406991465448i$

[ Añadido más tarde 2 ] Los ceros adicionales de $\zeta(s)+\zeta(1-s)$ son $6.0002215061605926659 \pm 5.5128690434285266557$ y $11.248198934515946877 \pm 3.5349340823965337997$ .

En todos los casos, si $s$ es un cero también lo es $1-s$ .

He aquí una sesión de pari con gran precisión:

\p 120
a=13.1627878649910358141631713461028903502674045760701701738298467140072119876746309296270651170803651644473445990732853741 + 2.58046497185066957108186074406714794119615081581034778843315640867385970134939303047779039837771630019890293928089781416*I
zeta(a)-zeta(1-a)
%2 = 3.667106168519458724 E-119 - 5.4882932400387681018240947190706996903 E-119*I

El valor inicial se eligió de forma oportunista a partir de este gráfico. Los colores se explican aquí

Answer 4

Aquí hay dos imágenes para complementar la imagen de joro.

Ceros de $ \zeta(s)^2 - \zeta(1-s)^2 $ :

Ceros de $\left ( 2^s \pi^{s−1} \sin \left ( \frac{\pi s}{2} \right ) \Gamma (1-s) \right ) ^2 - 1$ :

En particular, parece ser que todos los ceros dentro de la franja crítica están en la línea crítica, y que todos los demás ceros no se alejan demasiado del origen, como se insinúa en la respuesta de GH.

Answer 5

Ahora tenemos buenos resultados de GH para $\Gamma(s) \pm \Gamma(1-s)$ y $\zeta(s) \pm \zeta(1-s)$ (cuando ambos son distintos de cero), así como una afirmación más generalizada esbozada en este artículo http://arxiv.org/abs/0712.1266 que los ceros para $f(s) = h(s) - h(2a-s)$ con $h$ siendo una función meromórfica que satisface las condiciones de crecimiento apropiadas, se inclinan a situarse en una línea crítica $a$ con un número limitado de excepciones.

Sin embargo, a pesar de los alentadores resultados de que todos los ceros se encuentran en la línea crítica y sólo un número finito de excepciones residen fuera de la franja crítica, no parece haber forma de extrapolar estos resultados a los ceros no triviales ( $\rho$ ). No parece que se impongan nuevas limitaciones a su ubicación y realmente parecen originarse "desde lo más profundo de la cueva inaccesible" de $\zeta(s)$ mismo. Por lo tanto, podrían seguir residiendo en cualquier lugar de la franja crítica.

Sólo para compartir algunos "intentos inútiles" que hice para hacer un enlace. En primer lugar esperaba que de alguna manera los resultados forzaran el siguiente resultado para todos $\Re s$ en la tira:

$\lim_{s\to\rho}\left|\frac{\zeta(s)}{\zeta(1-s)}\right|=1$

limitando así seriamente los posibles valores $\Re(\rho)$ podría suponer. Pero no lo hacen.

En un intento de encontrar otra relación entre $\zeta(s)2$ y $\zeta(1-s)$ convertí ambos a la alternancia $\eta(s)$ y, a continuación, emparejar los términos individuales de cada $n$ (esto está permitido ya que $\eta(s)$ es válido para $\Re s>0$ ). Esto da:

$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } \left({\frac { \left( -1 \right) ^{n-1}}{(1-{2}^{1-s}) {n}^{s}}} \pm{\frac { \left( -1 \right) ^{n-1}}{ (1-{2}^{s}) {n}^{1-s}}}\right)$

Para cada individuo $n$ se obtiene una onda de frecuencia y amplitud fijas, que sólo tiene ceros cuando $\Re s=1/2$ . Estas ondas se suman a una curva que produce todos los ceros "no y semi" triviales de la OP. Sin embargo, la $\rho$ obviamente también surgen de la suma de los términos individuales y no he podido encontrar una manera significativa de intercambiar inteligentemente los términos izquierdo y derecho, de modo que tal vez se revele nueva información sobre los ceros no triviales.

Como último intento, también experimenté con la función PrimeZeta $P(s)$ .

Para $P(s)-P(1-s)$ Lo encontré:

$\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty } \frac{\mu \left( k \right)}{k} \ln \left( {\frac {\zeta \left( ks \right) }{\zeta \left( k \left( 1-s \right) \right) }} \right)$

y para $P(s)+P(1-s)$ :

$\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty } \frac{\mu \left( k \right)}{k} \ln \left( {\zeta \left( ks \right) \zeta \left( k \left( 1-s \right) \right) } \right)$

Para ambas funciones, todos los ceros parecen estar en la línea crítica $\Re s=\frac12$ pero para la primera función los ceros no triviales se han convertido en polos. Es interesante observar que el sitio Wolfram sobre la PrimeZeta afirma: " Según Fröberg (1968), se sabe muy poco sobre las raíces ", así que tal vez hay algo nuevo aquí a prueba de $P(s) \pm P(1-s)$ ... :-)