Confusión en la transformada de Fourier

Question

Según Wikipedia la transformada de Fourier $\hat f$ de una función integrable $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ se define por

$$ \hat f\left(\xi\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-2\pi ix\xi}dx.\tag{1} $$

Considere $f\left(x\right)=e^{-x^2}$ . A continuación, utilizando $\left(1\right)$ obtengo

$$\hat f\left(\xi\right)=e^{-\left(\pi\xi\right)^2}\sqrt\pi.$$

Sin embargo, WolframAlpha calcula

$$ \mathcal F_x\left[e^{-x^2}\right]\left(\omega\right)=\frac{e^{-\frac{\omega^2}{4}}}{\sqrt 2}, $$

la parte de atrás de mi libro de PDEs produce

$$ \mathcal F\left(e^{-x^2}\right)\left(\xi\right)=\frac{e^{-\frac{\xi^2}{4}}}{2\sqrt\pi}, $$

y mi profesor afirma

$$ \mathcal F\left(e^{-x^2}\right)\left(\xi\right)=\left(2\pi\right)^\frac12e^{-\frac{\xi^2}2}. $$

¿Qué demonios está pasando?

Answer 1

En distintos escenarios, la Transformada de Fourier utiliza caracteres diferentes, $e^{-\lambda ix\xi}$ con diferentes valores de $\lambda$ . Normalizado de forma que $\mathcal{F}_\lambda(\mathcal{F}_\lambda(f))(x)=f(-x)$ la transformada de Fourier es $$ \mathcal{F}_\lambda(f)(\xi)=\sqrt{\frac{\lambda}{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)\,e^{-\lambda ix\xi}\,\mathrm{d}x\tag{1} $$ Aplicación de $(1)$ a la función $e^{-\alpha x^2}$ produce $$ \begin{align} \mathcal{F}_\lambda\left(e^{-\alpha x^2}\right)(\xi) &=\sqrt{\frac{\lambda}{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2}\,e^{-\lambda ix\xi}\,\mathrm{d}x\\ &=\sqrt{\frac{\lambda}{2\pi}}\,e^{-\frac{\lambda^2}{4\alpha}\xi^2}\color{#C00000}{\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha(x+\frac{\lambda}{2\alpha} i\xi)^2}\,\mathrm{d}x}\\ &=\sqrt{\frac{\lambda}{2\pi}}\,e^{-\frac{\lambda^2}{4\alpha}\xi^2}\color{#C00000}{\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2}\,\mathrm{d}x}\\ &=\sqrt{\frac\lambda{2\alpha}}\,e^{-\frac{\lambda^2}{4\alpha}\xi^2}\tag{2} \end{align} $$ La igualdad de las integrales rojas se garantiza mediante la integración de contornos en un rectángulo muy amplio.

Normalmente $\lambda=2\pi$ de modo que $\sqrt{\frac{\lambda}{2\pi}}=1$ en $(1)$ o $\lambda=1$ para simplificar el carácter. Utilización de $(2)$ con $\alpha=1$ podemos determinar qué valor de $\lambda$ se utiliza en cada caso citado en la pregunta.

En el primer caso, $\lambda=2\pi$ se utiliza: $$ \mathcal{F}_{2\pi}\left(e^{-x^2}\right)(\xi)=\sqrt{\pi}\,e^{-\pi^2\xi^2}\tag{3} $$ Wolfram Alpha parece utilizar $\lambda=1$ : $$ \mathcal{F}_1\left(e^{-x^2}\right)(\xi)=\sqrt{\tfrac12}\,e^{-\xi^2/4}\tag{4} $$ El libro PDE utiliza $\lambda=1$ pero parece haber elegido una Transformada de Fourier asimétrica, donde la Transformada de Fourier toma el factor $\frac1{2\pi}$ en lugar de $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ en $(1)$ y la transformada inversa de Fourier toma el factor $1$ en lugar de $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ . Por lo tanto, su respuesta es $(4)$ dividido por $\sqrt{2\pi}$ .

El formulario dado por su profesor tendría que utilizar $\lambda=\sqrt{2}$ y un factor de $\frac1{\sqrt{\pi}}$ en lugar de $\frac1{\sqrt[4]{2\pi^2}}$ . Mi opinión es que esto no es lo que se pretendía. Sin embargo, se parece un poco al pdf de Distribución normal con varianza $1$ y media $0$ .

Answer 2

Lo que ocurre es que hay diferentes convenciones para la colocación de $2\pi$ . Lo metes como factor en la transformada de Fourier directa, o en la transformada inversa, o utilizas un factor $\sqrt{2\pi}$ en ambos, o lo pones en el exponente, o intentas heroicamente ocultarlo por completo cambiando la propia medida, como hace Rudin en uno de sus famosos libros. En resumidas cuentas, la teoría de la transformada de Fourier necesita $2\pi$ en algún lugar y no hay acuerdo universal sobre a dónde debe ir.