Comprensión/Dominio del análisis en topología, ¿necesario?

Question

Hasta ahora he hablado con un profesor sobre este tema, que por supuesto fue de ayuda, y por eso estoy buscando opiniones adicionales: Para trabajar con herramientas topológicas construidas mediante análisis, ¿debo ser un "maestro" en ese análisis? Con ello me refiero, por ejemplo, a utilizar la Teoría de Seiberg-Witten y las Homologías de Floer.
Como estudiante de posgrado "principiante" soy "puramente" un topólogo puro, es decir, no tengo formación real en análisis, sino en Topología Algebraica. $\approx 6$ años. Ahora que estoy aprendiendo Homología de Floer de Seiberg-Witten y otras homologías de Floer, tiendo a poner todo/la mayor parte del análisis (por ejemplo: compacidad de los espacios de moduli) en una caja negra, y luego sigo "aprendiendo". Como resultado, no estoy seguro de si estoy perdiendo el tiempo, es decir, si todavía puedo utilizar las teorías con eficacia (y, por supuesto, me gustaría ampliar las teorías). ¿Existe un "buen" equilibrio entre 1) simplemente aceptando el análisis y 2) poder hacer el análisis con las dos manos atadas a la espalda (como parecen hacer Kronheimer-Mrowka en su Monopolos y 3-Manifolds libro)?

No estoy seguro de cómo hacer esta pregunta menos vaga / más precisa, pero creo que hay una buena pregunta subyacente aquí que puede tener una respuesta informativa.

Answer 1

Estoy muy triste. Escribimos "Monopolos y Tres Múltiplos" con la idea de que un buen estudiante graduado que hubiera leído algo como el libro de Warner (a través del capítulo sobre la teoría de Hodge) podría razonablemente leer gran parte del libro. Pero bueno.

Answer 2

A la larga, lo más probable es que tengas que aprender matemáticas en función de lo que "necesites saber" y no perder el tiempo aprendiendo tecnicismos con los que realmente no tienes que lidiar en tu propio trabajo.

Por otro lado, nunca tendrás tanto tiempo disponible para aprender matemáticas como ahora, mientras eres estudiante de posgrado, y deberías aprovecharlo. Es el momento de aprender todas las matemáticas que puedas, aunque no estés seguro de que vayas a necesitarlas. Pero aún tienes que elegir qué aprender y qué tratar como una "caja negra". Pide consejo a otras personas, piensa en ello tú mismo y luego lánzate. A mí me gustaba especialmente hacer seminarios de trabajo con otros estudiantes de posgrado con intereses similares. Esto me llevó a menudo a aprender cosas que no me interesaban inicialmente.

Answer 3

No es necesario conocer el análisis al mismo nivel que las personas que crearon estas teorías, pero sí tener al menos una comprensión general y conciencia de lo que hay dentro, y de las posibles trampas.

Para darte una analogía con la que puedas relacionarte, piensa lo lejos que llegarías aprendiendo axiomáticamente homología singular, sin comprender lo que realmente hay dentro.

Answer 4

Yo empecé igual que un topólogo e ignoré todo análisis que no fuera necesario para mi proyecto de investigación. Ahora, como posdoctorado, la gente no me cree realmente cuando digo que no me gusta el análisis, porque leen lo que hice y resultó ser bastante analítico.

Así que yo diría que depende de adónde quieras ir. Para mí, la mejor (y probablemente la única) forma de aprender a analizar es haciéndolo. Así que, como he dicho antes, depende de en qué se centre tu investigación y de cuánto necesites saber.

Sí, te retrasará en la investigación, si tienes que aprender las herramientas analíticas a medida que las necesitas. Pero hacerse con una gran caja de herramientas y luego utilizar sólo un pequeño destornillador es pasarse completamente. Así que yo me aseguraría de que realmente conoces todo lo que necesitas utilizar en tu propio trabajo y tratar otras cosas que lees como una caja negra. Verás que tu caja de herramientas se va ampliando con el tiempo. Pero siempre habrá cajas negras, ya que hay muchas más cosas que aprender de las que puedes hacer si quieres tener tiempo para tu propio trabajo.

Answer 5

Hace unos años estuve trabajando con unos compañeros de licenciatura (que estudiaban topología algebraica) y tenían problemas para calcular algunas integrales. No era raro, pero entonces me preguntaron si alguna vez se utilizaban integrales en investigación. Al principio me quedé un poco sorprendido, pero luego me di cuenta de que nunca habían asistido a un curso de análisis riguroso. Sin embargo, la conversación terminó con una nota alegre, ya que acabamos discutiendo las similitudes de un álgebra sigma y un espacio topológico.